Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6309 / 6166
↖ ↑ ↗
← S 66.895596°
E 97.250976°		 ← 1 917.50 m → S 66.895596°
E 97.294922°		 →
↑
1 916.84 m
↓
↑
1 916.84 m
↓
S 66.912834°
E 97.250976°		 ← 1 916.15 m →
3 674 246 m²		 S 66.912834°
E 97.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77020263671875 y=0.75274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77020263671875 × 213)
    floor (0.77020263671875 × 8192)
    floor (6309.5)     		tx = 6309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75274658203125 × 213)
    floor (0.75274658203125 × 8192)
    floor (6166.5)     		ty = 6166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6309 / 6166 ti = "13/6309/6166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6309/6166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6309 ÷ 213
    6309 ÷ 8192     		x = 0.7701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6166 ÷ 213
    6166 ÷ 8192     		y = 0.752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7701416015625 × 2 - 1) × π
    0.540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69734974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69734974} λ = 1.69734974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58767011541626))-π/2
    2×atan(0.204401288794369)-π/2
    2×0.201623964155491-π/2
    0.403247928310981-1.57079632675     		φ = -1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69734974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6309 KachelY 6166 1.69734974 -1.16754840 97.250976 -66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 6310 KachelY 6166 1.69811673 -1.16754840 97.294922 -66.895596
    Unten links KachelX 6309 KachelY + 1 6167 1.69734974 -1.16784927 97.250976 -66.912834
    Unten rechts KachelX + 1 6310 KachelY + 1 6167 1.69811673 -1.16784927 97.294922 -66.912834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16754840--1.16784927) × R
    0.000300870000000009 × 6371000     		dl = 1916.84277000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16754840--1.16784927) × R
    0.000300870000000009 × 6371000     		dr = 1916.84277000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69734974-1.69811673) × cos(-1.16754840) × R
    0.000766990000000023 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 1917.49818787798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69734974-1.69811673) × cos(-1.16784927) × R
    0.000766990000000023 × 0.392131066364439 × 6371000     		du = 1916.14582459043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16754840)-sin(-1.16784927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392131066364439)×R²
    abs(1.69811673-1.69734974)×0.000276755375949733×R²
    0.000766990000000023×0.000276755375949733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276755375949733×40589641000000     		ar = 3674246.431742m²