Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63085 / 79099
↖ ↑ ↗
← S 34.874665°
W  6.731873°		 ← 250.57 m → S 34.874665°
W  6.729126°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
S 34.876918°
W  6.731873°		 ← 250.57 m →
62 786 m²		 S 34.876918°
W  6.729126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481304168701172 y=0.603481292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481304168701172 × 217)
    floor (0.481304168701172 × 131072)
    floor (63085.5)     		tx = 63085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603481292724609 × 217)
    floor (0.603481292724609 × 131072)
    floor (79099.5)     		ty = 79099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63085 / 79099 ti = "17/63085/79099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63085/79099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63085 ÷ 217
    63085 ÷ 131072     		x = 0.481300354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79099 ÷ 217
    79099 ÷ 131072     		y = 0.603477478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481300354003906 × 2 - 1) × π
    -0.0373992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11749334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603477478027344 × 2 - 1) × π
    -0.206954956054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.650168169546822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11749334} λ = -0.11749334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650168169546822))-π/2
    2×atan(0.521957991940892)-π/2
    2×0.481059297052361-π/2
    0.962118594104722-1.57079632675     		φ = -0.60867773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11749334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.731873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60867773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.874665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63085 KachelY 79099 -0.11749334 -0.60867773 -6.731873 -34.874665
    Oben rechts KachelX + 1 63086 KachelY 79099 -0.11744540 -0.60867773 -6.729126 -34.874665
    Unten links KachelX 63085 KachelY + 1 79100 -0.11749334 -0.60871706 -6.731873 -34.876918
    Unten rechts KachelX + 1 63086 KachelY + 1 79100 -0.11744540 -0.60871706 -6.729126 -34.876918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60867773--0.60871706) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dl = 250.571430000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60867773--0.60871706) × R
    3.93300000000041e-05 × 6371000     		dr = 250.571430000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11749334--0.11744540) × cos(-0.60867773) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820404786545862 × 6371000     		do = 250.572739030293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11749334--0.11744540) × cos(-0.60871706) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820382297679521 × 6371000     		du = 250.565870351649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60867773)-sin(-0.60871706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820404786545862-0.820382297679521)×R²
    abs(-0.11744540--0.11749334)×2.24888663409306e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24888663409306e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24888663409306e-05×40589641000000     		ar = 62785.5089987909m²