Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63081 / 79104
↖ ↑ ↗
← S 34.885931°
W  6.742859°		 ← 250.54 m → S 34.885931°
W  6.740112°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
S 34.888184°
W  6.742859°		 ← 250.53 m →
62 761 m²		 S 34.888184°
W  6.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481273651123047 y=0.603519439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481273651123047 × 217)
    floor (0.481273651123047 × 131072)
    floor (63081.5)     		tx = 63081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603519439697266 × 217)
    floor (0.603519439697266 × 131072)
    floor (79104.5)     		ty = 79104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63081 / 79104 ti = "17/63081/79104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63081/79104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63081 ÷ 217
    63081 ÷ 131072     		x = 0.481269836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79104 ÷ 217
    79104 ÷ 131072     		y = 0.603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481269836425781 × 2 - 1) × π
    -0.0374603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11768509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603515625 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11768509} λ = -0.11768509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650407854044922))-π/2
    2×atan(0.521832901693259)-π/2
    2×0.48096098463532-π/2
    0.961921969270641-1.57079632675     		φ = -0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11768509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.742859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63081 KachelY 79104 -0.11768509 -0.60887436 -6.742859 -34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 63082 KachelY 79104 -0.11763715 -0.60887436 -6.740112 -34.885931
    Unten links KachelX 63081 KachelY + 1 79105 -0.11768509 -0.60891368 -6.742859 -34.888184
    Unten rechts KachelX + 1 63082 KachelY + 1 79105 -0.11763715 -0.60891368 -6.740112 -34.888184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60887436--0.60891368) × R
    3.93200000000649e-05 × 6371000     		dl = 250.507720000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60887436--0.60891368) × R
    3.93200000000649e-05 × 6371000     		dr = 250.507720000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11768509--0.11763715) × cos(-0.60887436) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 250.538395255108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11768509--0.11763715) × cos(-0.60891368) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.820269851472702 × 6371000     		du = 250.531526385793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60887436)-sin(-0.60891368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820269851472702)×R²
    abs(-0.11763715--0.11768509)×2.24894906178941e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.24894906178941e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.24894906178941e-05×40589641000000     		ar = 62760.9418236476m²