Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6308 / 6186
↖ ↑ ↗
← S 67.238062°
E 97.207031°		 ← 1 890.60 m → S 67.238062°
E 97.250976°		 →
↑
1 889.89 m
↓
↑
1 889.89 m
↓
S 67.255058°
E 97.207031°		 ← 1 889.26 m →
3 571 768 m²		 S 67.255058°
E 97.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77008056640625 y=0.75518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77008056640625 × 213)
    floor (0.77008056640625 × 8192)
    floor (6308.5)     		tx = 6308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75518798828125 × 213)
    floor (0.75518798828125 × 8192)
    floor (6186.5)     		ty = 6186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6308 / 6186 ti = "13/6308/6186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6308/6186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6308 ÷ 213
    6308 ÷ 8192     		x = 0.77001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6186 ÷ 213
    6186 ÷ 8192     		y = 0.755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77001953125 × 2 - 1) × π
    0.5400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69658275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.51025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69658275} λ = 1.69658275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60300992329468))-π/2
    2×atan(0.201289738599847)-π/2
    2×0.198635384973857-π/2
    0.397270769947714-1.57079632675     		φ = -1.17352556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69658275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17352556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.238062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6308 KachelY 6186 1.69658275 -1.17352556 97.207031 -67.238062
    Oben rechts KachelX + 1 6309 KachelY 6186 1.69734974 -1.17352556 97.250976 -67.238062
    Unten links KachelX 6308 KachelY + 1 6187 1.69658275 -1.17382220 97.207031 -67.255058
    Unten rechts KachelX + 1 6309 KachelY + 1 6187 1.69734974 -1.17382220 97.250976 -67.255058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17352556--1.17382220) × R
    0.000296639999999959 × 6371000     		dl = 1889.89343999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17352556--1.17382220) × R
    0.000296639999999959 × 6371000     		dr = 1889.89343999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69658275-1.69734974) × cos(-1.17352556) × R
    0.000766990000000023 × 0.386903104848635 × 6371000     		do = 1890.59942572308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69658275-1.69734974) × cos(-1.17382220) × R
    0.000766990000000023 × 0.386629550041545 × 6371000     		du = 1889.26270199379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17352556)-sin(-1.17382220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386903104848635-0.386629550041545)×R²
    abs(1.69734974-1.69658275)×0.000273554807089738×R²
    0.000766990000000023×0.000273554807089738×6371000²
    0.000766990000000023×0.000273554807089738×40589641000000     		ar = 3571768.34582946m²