Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63075 / 77154
↖ ↑ ↗
← S 30.377614°
W  6.759338°		 ← 263.49 m → S 30.377614°
W  6.756592°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.379984°
W  6.759338°		 ← 263.49 m →
69 414 m²		 S 30.379984°
W  6.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481227874755859 y=0.588642120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481227874755859 × 217)
    floor (0.481227874755859 × 131072)
    floor (63075.5)     		tx = 63075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588642120361328 × 217)
    floor (0.588642120361328 × 131072)
    floor (77154.5)     		ty = 77154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63075 / 77154 ti = "17/63075/77154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63075/77154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63075 ÷ 217
    63075 ÷ 131072     		x = 0.481224060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77154 ÷ 217
    77154 ÷ 131072     		y = 0.588638305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481224060058594 × 2 - 1) × π
    -0.0375518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11797271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588638305664062 × 2 - 1) × π
    -0.177276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556930899785812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11797271} λ = -0.11797271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556930899785812))-π/2
    2×atan(0.572964854679823)-π/2
    2×0.520303469031244-π/2
    1.04060693806249-1.57079632675     		φ = -0.53018939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11797271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.759338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53018939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.377614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63075 KachelY 77154 -0.11797271 -0.53018939 -6.759338 -30.377614
    Oben rechts KachelX + 1 63076 KachelY 77154 -0.11792477 -0.53018939 -6.756592 -30.377614
    Unten links KachelX 63075 KachelY + 1 77155 -0.11797271 -0.53023074 -6.759338 -30.379984
    Unten rechts KachelX + 1 63076 KachelY + 1 77155 -0.11792477 -0.53023074 -6.756592 -30.379984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53018939--0.53023074) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53018939--0.53023074) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11797271--0.11792477) × cos(-0.53018939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862711312082014 × 6371000     		do = 263.494240899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11797271--0.11792477) × cos(-0.53023074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862690400784314 × 6371000     		du = 263.487854050425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53018939)-sin(-0.53023074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862711312082014-0.862690400784314)×R²
    abs(-0.11792477--0.11797271)×2.09112977002102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09112977002102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09112977002102e-05×40589641000000     		ar = 69414.3055240246m²