Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63070 / 77294
↖ ↑ ↗
← S 30.708781°
W  6.773071°		 ← 262.54 m → S 30.708781°
W  6.770325°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 30.711143°
W  6.773071°		 ← 262.54 m →
68 946 m²		 S 30.711143°
W  6.770325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481189727783203 y=0.589710235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481189727783203 × 217)
    floor (0.481189727783203 × 131072)
    floor (63070.5)     		tx = 63070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589710235595703 × 217)
    floor (0.589710235595703 × 131072)
    floor (77294.5)     		ty = 77294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63070 / 77294 ti = "17/63070/77294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63070/77294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63070 ÷ 217
    63070 ÷ 131072     		x = 0.481185913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77294 ÷ 217
    77294 ÷ 131072     		y = 0.589706420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481185913085938 × 2 - 1) × π
    -0.037628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11821239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589706420898438 × 2 - 1) × π
    -0.179412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.56364206573262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11821239} λ = -0.11821239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56364206573262))-π/2
    2×atan(0.56913246673824)-π/2
    2×0.517413492567996-π/2
    1.03482698513599-1.57079632675     		φ = -0.53596934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11821239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.773071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53596934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.708781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63070 KachelY 77294 -0.11821239 -0.53596934 -6.773071 -30.708781
    Oben rechts KachelX + 1 63071 KachelY 77294 -0.11816446 -0.53596934 -6.770325 -30.708781
    Unten links KachelX 63070 KachelY + 1 77295 -0.11821239 -0.53601056 -6.773071 -30.711143
    Unten rechts KachelX + 1 63071 KachelY + 1 77295 -0.11816446 -0.53601056 -6.770325 -30.711143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53596934--0.53601056) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dl = 262.612620000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53596934--0.53601056) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dr = 262.612620000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11821239--0.11816446) × cos(-0.53596934) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.859774015876202 × 6371000     		do = 262.542338829218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11821239--0.11816446) × cos(-0.53601056) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.859752965134965 × 6371000     		du = 262.535910732141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53596934)-sin(-0.53601056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859774015876202-0.859752965134965)×R²
    abs(-0.11816446--0.11821239)×2.10507412375938e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.10507412375938e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.10507412375938e-05×40589641000000     		ar = 68946.0874211059m²