Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63068 / 77085
↖ ↑ ↗
← S 30.213982°
W  6.778565°		 ← 263.93 m → S 30.213982°
W  6.775818°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.216355°
W  6.778565°		 ← 263.93 m →
69 665 m²		 S 30.216355°
W  6.775818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481174468994141 y=0.588115692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481174468994141 × 217)
    floor (0.481174468994141 × 131072)
    floor (63068.5)     		tx = 63068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588115692138672 × 217)
    floor (0.588115692138672 × 131072)
    floor (77085.5)     		ty = 77085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63068 / 77085 ti = "17/63068/77085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63068/77085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63068 ÷ 217
    63068 ÷ 131072     		x = 0.481170654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77085 ÷ 217
    77085 ÷ 131072     		y = 0.588111877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.03765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11830827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588111877441406 × 2 - 1) × π
    -0.176223754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.553623253712028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11830827} λ = -0.11830827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553623253712028))-π/2
    2×atan(0.574863157357819)-π/2
    2×0.521731432855904-π/2
    1.04346286571181-1.57079632675     		φ = -0.52733346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11830827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.778565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52733346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.213982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63068 KachelY 77085 -0.11830827 -0.52733346 -6.778565 -30.213982
    Oben rechts KachelX + 1 63069 KachelY 77085 -0.11826033 -0.52733346 -6.775818 -30.213982
    Unten links KachelX 63068 KachelY + 1 77086 -0.11830827 -0.52737489 -6.778565 -30.216355
    Unten rechts KachelX + 1 63069 KachelY + 1 77086 -0.11826033 -0.52737489 -6.775818 -30.216355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52733346--0.52737489) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52733346--0.52737489) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11830827--0.11826033) × cos(-0.52733346) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864152026327685 × 6371000     		do = 263.934272113613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11830827--0.11826033) × cos(-0.52737489) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864131176732476 × 6371000     		du = 263.927904110567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52733346)-sin(-0.52737489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864152026327685-0.864131176732476)×R²
    abs(-0.11826033--0.11830827)×2.08495952092047e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08495952092047e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08495952092047e-05×40589641000000     		ar = 69664.7506007332m²