Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63066 / 29357
↖ ↑ ↗
← N 69.978314°
W  6.784057°		 ← 104.55 m → N 69.978314°
W  6.781311°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.977374°
W  6.784057°		 ← 104.55 m →
10 931 m²		 N 69.977374°
W  6.781311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481159210205078 y=0.223979949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481159210205078 × 217)
    floor (0.481159210205078 × 131072)
    floor (63066.5)     		tx = 63066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223979949951172 × 217)
    floor (0.223979949951172 × 131072)
    floor (29357.5)     		ty = 29357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63066 / 29357 ti = "17/63066/29357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63066/29357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63066 ÷ 217
    63066 ÷ 131072     		x = 0.481155395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29357 ÷ 217
    29357 ÷ 131072     		y = 0.223976135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481155395507812 × 2 - 1) × π
    -0.037689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11840414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223976135253906 × 2 - 1) × π
    0.552047729492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73430909135401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11840414} λ = -0.11840414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73430909135401))-π/2
    2×atan(5.66501244530512)-π/2
    2×1.3960741539333-π/2
    2.7921483078666-1.57079632675     		φ = 1.22135198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11840414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.784057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22135198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.978314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63066 KachelY 29357 -0.11840414 1.22135198 -6.784057 69.978314
    Oben rechts KachelX + 1 63067 KachelY 29357 -0.11835621 1.22135198 -6.781311 69.978314
    Unten links KachelX 63066 KachelY + 1 29358 -0.11840414 1.22133557 -6.784057 69.977374
    Unten rechts KachelX + 1 63067 KachelY + 1 29358 -0.11835621 1.22133557 -6.781311 69.977374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22135198-1.22133557) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22135198-1.22133557) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11840414--0.11835621) × cos(1.22135198) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.3423757890887 × 6371000     		do = 104.548565978981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11840414--0.11835621) × cos(1.22133557) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342391207273073 × 6371000     		du = 104.55327410706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22135198)-sin(1.22133557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3423757890887-0.342391207273073)×R²
    abs(-0.11835621--0.11840414)×1.54181843728396e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54181843728396e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54181843728396e-05×40589641000000     		ar = 10930.6010894393m²