Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63064 / 77111
↖ ↑ ↗
← S 30.275673°
W  6.789551°		 ← 263.77 m → S 30.275673°
W  6.786804°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 30.278045°
W  6.789551°		 ← 263.76 m →
69 571 m²		 S 30.278045°
W  6.786804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481143951416016 y=0.588314056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481143951416016 × 217)
    floor (0.481143951416016 × 131072)
    floor (63064.5)     		tx = 63064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588314056396484 × 217)
    floor (0.588314056396484 × 131072)
    floor (77111.5)     		ty = 77111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63064 / 77111 ti = "17/63064/77111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63064/77111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63064 ÷ 217
    63064 ÷ 131072     		x = 0.48114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77111 ÷ 217
    77111 ÷ 131072     		y = 0.588310241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588310241699219 × 2 - 1) × π
    -0.176620483398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.55486961310215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11850002} λ = -0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55486961310215))-π/2
    2×atan(0.574147117577755)-π/2
    2×0.521193079810966-π/2
    1.04238615962193-1.57079632675     		φ = -0.52841017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52841017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.275673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63064 KachelY 77111 -0.11850002 -0.52841017 -6.789551 -30.275673
    Oben rechts KachelX + 1 63065 KachelY 77111 -0.11845208 -0.52841017 -6.786804 -30.275673
    Unten links KachelX 63064 KachelY + 1 77112 -0.11850002 -0.52845157 -6.789551 -30.278045
    Unten rechts KachelX + 1 63065 KachelY + 1 77112 -0.11845208 -0.52845157 -6.786804 -30.278045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52841017--0.52845157) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52841017--0.52845157) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11850002--0.11845208) × cos(-0.52841017) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863609691850194 × 6371000     		do = 263.768629204497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11850002--0.11845208) × cos(-0.52845157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863588818845269 × 6371000     		du = 263.762254051522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52841017)-sin(-0.52845157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863609691850194-0.863588818845269)×R²
    abs(-0.11845208--0.11850002)×2.08730049244821e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08730049244821e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08730049244821e-05×40589641000000     		ar = 69570.6146344015m²