Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63060 / 38941
↖ ↑ ↗
← N 58.772472°
W  6.800537°		 ← 158.31 m → N 58.772472°
W  6.797791°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.771048°
W  6.800537°		 ← 158.32 m →
25 064 m²		 N 58.771048°
W  6.797791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481113433837891 y=0.297100067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481113433837891 × 217)
    floor (0.481113433837891 × 131072)
    floor (63060.5)     		tx = 63060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297100067138672 × 217)
    floor (0.297100067138672 × 131072)
    floor (38941.5)     		ty = 38941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63060 / 38941 ti = "17/63060/38941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63060/38941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63060 ÷ 217
    63060 ÷ 131072     		x = 0.481109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38941 ÷ 217
    38941 ÷ 131072     		y = 0.297096252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297096252441406 × 2 - 1) × π
    0.405807495117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.27488184539539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11869176} λ = -0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27488184539539))-π/2
    2×atan(3.57827859503073)-π/2
    2×1.29828473826416-π/2
    2.59656947652833-1.57079632675     		φ = 1.02577315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02577315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.772472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63060 KachelY 38941 -0.11869176 1.02577315 -6.800537 58.772472
    Oben rechts KachelX + 1 63061 KachelY 38941 -0.11864383 1.02577315 -6.797791 58.772472
    Unten links KachelX 63060 KachelY + 1 38942 -0.11869176 1.02574830 -6.800537 58.771048
    Unten rechts KachelX + 1 63061 KachelY + 1 38942 -0.11864383 1.02574830 -6.797791 58.771048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02577315-1.02574830) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02577315-1.02574830) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11869176--0.11864383) × cos(1.02577315) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.518437909475106 × 6371000     		do = 158.311252466234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11869176--0.11864383) × cos(1.02574830) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.518459158929621 × 6371000     		du = 158.317741242801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02577315)-sin(1.02574830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518437909475106-0.518459158929621)×R²
    abs(-0.11864383--0.11869176)×2.12494545149822e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.12494545149822e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.12494545149822e-05×40589641000000     		ar = 25064.2482389679m²