Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63056 / 77647
↖ ↑ ↗
← S 31.538749°
W  6.811523°		 ← 260.31 m → S 31.538749°
W  6.808777°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 31.541090°
W  6.811523°		 ← 260.30 m →
67 763 m²		 S 31.541090°
W  6.808777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481082916259766 y=0.592403411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481082916259766 × 217)
    floor (0.481082916259766 × 131072)
    floor (63056.5)     		tx = 63056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592403411865234 × 217)
    floor (0.592403411865234 × 131072)
    floor (77647.5)     		ty = 77647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63056 / 77647 ti = "17/63056/77647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63056/77647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63056 ÷ 217
    63056 ÷ 131072     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77647 ÷ 217
    77647 ÷ 131072     		y = 0.592399597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592399597167969 × 2 - 1) × π
    -0.184799194335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.5805637912985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5805637912985))-π/2
    2×atan(0.559582789706391)-π/2
    2×0.510170657103992-π/2
    1.02034131420798-1.57079632675     		φ = -0.55045501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55045501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.538749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63056 KachelY 77647 -0.11888351 -0.55045501 -6.811523 -31.538749
    Oben rechts KachelX + 1 63057 KachelY 77647 -0.11883557 -0.55045501 -6.808777 -31.538749
    Unten links KachelX 63056 KachelY + 1 77648 -0.11888351 -0.55049587 -6.811523 -31.541090
    Unten rechts KachelX + 1 63057 KachelY + 1 77648 -0.11883557 -0.55049587 -6.808777 -31.541090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55045501--0.55049587) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55045501--0.55049587) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11883557) × cos(-0.55045501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852286605900854 × 6371000     		do = 260.310267299337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11883557) × cos(-0.55049587) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852265232341547 × 6371000     		du = 260.303739264169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55045501)-sin(-0.55049587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852286605900854-0.852265232341547)×R²
    abs(-0.11883557--0.11888351)×2.13735593074249e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13735593074249e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13735593074249e-05×40589641000000     		ar = 67762.8744152428m²