Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63056 / 39663
↖ ↑ ↗
← N 57.729086°
W  6.811523°		 ← 163.07 m → N 57.729086°
W  6.808777°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 57.727619°
W  6.811523°		 ← 163.08 m →
26 597 m²		 N 57.727619°
W  6.808777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481082916259766 y=0.302608489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481082916259766 × 217)
    floor (0.481082916259766 × 131072)
    floor (63056.5)     		tx = 63056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302608489990234 × 217)
    floor (0.302608489990234 × 131072)
    floor (39663.5)     		ty = 39663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63056 / 39663 ti = "17/63056/39663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63056/39663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63056 ÷ 217
    63056 ÷ 131072     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39663 ÷ 217
    39663 ÷ 131072     		y = 0.302604675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302604675292969 × 2 - 1) × π
    0.394790649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24027140386971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24027140386971))-π/2
    2×atan(3.45655145891111)-π/2
    2×1.28917947328879-π/2
    2.57835894657757-1.57079632675     		φ = 1.00756262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00756262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.729086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63056 KachelY 39663 -0.11888351 1.00756262 -6.811523 57.729086
    Oben rechts KachelX + 1 63057 KachelY 39663 -0.11883557 1.00756262 -6.808777 57.729086
    Unten links KachelX 63056 KachelY + 1 39664 -0.11888351 1.00753702 -6.811523 57.727619
    Unten rechts KachelX + 1 63057 KachelY + 1 39664 -0.11883557 1.00753702 -6.808777 57.727619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00756262-1.00753702) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dl = 163.097600000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00756262-1.00753702) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dr = 163.097600000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11883557) × cos(1.00756262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533923190488139 × 6371000     		do = 163.073885557988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11883557) × cos(1.00753702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533944835957565 × 6371000     		du = 163.080496641505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00756262)-sin(1.00753702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533923190488139-0.533944835957565)×R²
    abs(-0.11883557--0.11888351)×2.16454694265122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16454694265122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16454694265122e-05×40589641000000     		ar = 26597.4984845937m²