Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63055 / 77645
↖ ↑ ↗
← S 31.534067°
W  6.814270°		 ← 260.32 m → S 31.534067°
W  6.811523°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 31.536408°
W  6.814270°		 ← 260.32 m →
67 766 m²		 S 31.536408°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481075286865234 y=0.592388153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481075286865234 × 217)
    floor (0.481075286865234 × 131072)
    floor (63055.5)     		tx = 63055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592388153076172 × 217)
    floor (0.592388153076172 × 131072)
    floor (77645.5)     		ty = 77645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63055 / 77645 ti = "17/63055/77645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63055/77645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63055 ÷ 217
    63055 ÷ 131072     		x = 0.481071472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77645 ÷ 217
    77645 ÷ 131072     		y = 0.592384338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481071472167969 × 2 - 1) × π
    -0.0378570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11893145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592384338378906 × 2 - 1) × π
    -0.184768676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.58046791749926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11893145} λ = -0.11893145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58046791749926))-π/2
    2×atan(0.559636441606294)-π/2
    2×0.510211514105821-π/2
    1.02042302821164-1.57079632675     		φ = -0.55037330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11893145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.814270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55037330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.534067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63055 KachelY 77645 -0.11893145 -0.55037330 -6.814270 -31.534067
    Oben rechts KachelX + 1 63056 KachelY 77645 -0.11888351 -0.55037330 -6.811523 -31.534067
    Unten links KachelX 63055 KachelY + 1 77646 -0.11893145 -0.55041416 -6.814270 -31.536408
    Unten rechts KachelX + 1 63056 KachelY + 1 77646 -0.11888351 -0.55041416 -6.811523 -31.536408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55037330--0.55041416) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55037330--0.55041416) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11893145--0.11888351) × cos(-0.55037330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8523293435206 × 6371000     		do = 260.323320468474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11893145--0.11888351) × cos(-0.55041416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852307972806833 × 6371000     		du = 260.316793302407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55037330)-sin(-0.55041416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8523293435206-0.852307972806833)×R²
    abs(-0.11888351--0.11893145)×2.13707137675101e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13707137675101e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13707137675101e-05×40589641000000     		ar = 67766.2725169379m²