Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63055 / 29389
↖ ↑ ↗
← N 69.948200°
W  6.814270°		 ← 104.72 m → N 69.948200°
W  6.811523°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.947259°
W  6.814270°		 ← 104.73 m →
10 962 m²		 N 69.947259°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481075286865234 y=0.224224090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481075286865234 × 217)
    floor (0.481075286865234 × 131072)
    floor (63055.5)     		tx = 63055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224224090576172 × 217)
    floor (0.224224090576172 × 131072)
    floor (29389.5)     		ty = 29389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63055 / 29389 ti = "17/63055/29389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63055/29389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63055 ÷ 217
    63055 ÷ 131072     		x = 0.481071472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29389 ÷ 217
    29389 ÷ 131072     		y = 0.224220275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481071472167969 × 2 - 1) × π
    -0.0378570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11893145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224220275878906 × 2 - 1) × π
    0.551559448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73277511056617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11893145} λ = -0.11893145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73277511056617))-π/2
    2×atan(5.65632908680642)-π/2
    2×1.39581136567566-π/2
    2.79162273135132-1.57079632675     		φ = 1.22082640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11893145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.814270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22082640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.948200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63055 KachelY 29389 -0.11893145 1.22082640 -6.814270 69.948200
    Oben rechts KachelX + 1 63056 KachelY 29389 -0.11888351 1.22082640 -6.811523 69.948200
    Unten links KachelX 63055 KachelY + 1 29390 -0.11893145 1.22080997 -6.814270 69.947259
    Unten rechts KachelX + 1 63056 KachelY + 1 29390 -0.11888351 1.22080997 -6.811523 69.947259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22082640-1.22080997) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22082640-1.22080997) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11893145--0.11888351) × cos(1.22082640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.342869557352136 × 6371000     		do = 104.72118827774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11893145--0.11888351) × cos(1.22080997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		du = 104.725902223747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22082640)-sin(1.22080997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342869557352136-0.342884991368949)×R²
    abs(-0.11888351--0.11893145)×1.54340168133094e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54340168133094e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54340168133094e-05×40589641000000     		ar = 10961.9926029583m²