Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63054 / 77643
↖ ↑ ↗
← S 31.529385°
W  6.817016°		 ← 260.28 m → S 31.529385°
W  6.814270°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 31.531726°
W  6.817016°		 ← 260.28 m →
67 756 m²		 S 31.531726°
W  6.814270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481067657470703 y=0.592372894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481067657470703 × 217)
    floor (0.481067657470703 × 131072)
    floor (63054.5)     		tx = 63054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592372894287109 × 217)
    floor (0.592372894287109 × 131072)
    floor (77643.5)     		ty = 77643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63054 / 77643 ti = "17/63054/77643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63054/77643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63054 ÷ 217
    63054 ÷ 131072     		x = 0.481063842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77643 ÷ 217
    77643 ÷ 131072     		y = 0.592369079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481063842773438 × 2 - 1) × π
    -0.037872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11897938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592369079589844 × 2 - 1) × π
    -0.184738159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.58037204370002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11897938} λ = -0.11897938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58037204370002))-π/2
    2×atan(0.559690098650255)-π/2
    2×0.510252373156374-π/2
    1.02050474631275-1.57079632675     		φ = -0.55029158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11897938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.817016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55029158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.529385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63054 KachelY 77643 -0.11897938 -0.55029158 -6.817016 -31.529385
    Oben rechts KachelX + 1 63055 KachelY 77643 -0.11893145 -0.55029158 -6.814270 -31.529385
    Unten links KachelX 63054 KachelY + 1 77644 -0.11897938 -0.55033244 -6.817016 -31.531726
    Unten rechts KachelX + 1 63055 KachelY + 1 77644 -0.11893145 -0.55033244 -6.814270 -31.531726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55029158--0.55033244) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55029158--0.55033244) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11897938--0.11893145) × cos(-0.55029158) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.852372080679107 × 6371000     		do = 260.282068871504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11897938--0.11893145) × cos(-0.55033244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85235071281137 × 6371000     		du = 260.275543936036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55029158)-sin(-0.55033244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852372080679107-0.85235071281137)×R²
    abs(-0.11893145--0.11897938)×2.13678677366547e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13678677366547e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13678677366547e-05×40589641000000     		ar = 67755.5342305355m²