Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63054 / 29390
↖ ↑ ↗
← N 69.947259°
W  6.817016°		 ← 104.70 m → N 69.947259°
W  6.814270°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.946317°
W  6.817016°		 ← 104.71 m →
10 967 m²		 N 69.946317°
W  6.814270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481067657470703 y=0.224231719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481067657470703 × 217)
    floor (0.481067657470703 × 131072)
    floor (63054.5)     		tx = 63054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224231719970703 × 217)
    floor (0.224231719970703 × 131072)
    floor (29390.5)     		ty = 29390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63054 / 29390 ti = "17/63054/29390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63054/29390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63054 ÷ 217
    63054 ÷ 131072     		x = 0.481063842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29390 ÷ 217
    29390 ÷ 131072     		y = 0.224227905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481063842773438 × 2 - 1) × π
    -0.037872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11897938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224227905273438 × 2 - 1) × π
    0.551544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73272717366655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11897938} λ = -0.11897938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73272717366655))-π/2
    2×atan(5.65605794642564)-π/2
    2×1.39580314743895-π/2
    2.7916062948779-1.57079632675     		φ = 1.22080997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11897938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.817016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22080997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.947259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63054 KachelY 29390 -0.11897938 1.22080997 -6.817016 69.947259
    Oben rechts KachelX + 1 63055 KachelY 29390 -0.11893145 1.22080997 -6.814270 69.947259
    Unten links KachelX 63054 KachelY + 1 29391 -0.11897938 1.22079353 -6.817016 69.946317
    Unten rechts KachelX + 1 63055 KachelY + 1 29391 -0.11893145 1.22079353 -6.814270 69.946317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22080997-1.22079353) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22080997-1.22079353) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11897938--0.11893145) × cos(1.22080997) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		do = 104.704057020958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11897938--0.11893145) × cos(1.22079353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.34290043468692 × 6371000     		du = 104.708772823884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22080997)-sin(1.22079353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342884991368949-0.34290043468692)×R²
    abs(-0.11893145--0.11897938)×1.54433179707092e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54433179707092e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54433179707092e-05×40589641000000     		ar = 10966.8703222875m²