Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63052 / 77164
↖ ↑ ↗
← S 30.401307°
W  6.822510°		 ← 263.43 m → S 30.401307°
W  6.819763°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
S 30.403675°
W  6.822510°		 ← 263.42 m →
69 381 m²		 S 30.403675°
W  6.819763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481052398681641 y=0.588718414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481052398681641 × 217)
    floor (0.481052398681641 × 131072)
    floor (63052.5)     		tx = 63052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588718414306641 × 217)
    floor (0.588718414306641 × 131072)
    floor (77164.5)     		ty = 77164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63052 / 77164 ti = "17/63052/77164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63052/77164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63052 ÷ 217
    63052 ÷ 131072     		x = 0.481048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77164 ÷ 217
    77164 ÷ 131072     		y = 0.588714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481048583984375 × 2 - 1) × π
    -0.03790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11907526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.17742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557410268782013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11907526} λ = -0.11907526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557410268782013))-π/2
    2×atan(0.572690258914183)-π/2
    2×0.520096715570259-π/2
    1.04019343114052-1.57079632675     		φ = -0.53060290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11907526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.822510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53060290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.401307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63052 KachelY 77164 -0.11907526 -0.53060290 -6.822510 -30.401307
    Oben rechts KachelX + 1 63053 KachelY 77164 -0.11902732 -0.53060290 -6.819763 -30.401307
    Unten links KachelX 63052 KachelY + 1 77165 -0.11907526 -0.53064424 -6.822510 -30.403675
    Unten rechts KachelX + 1 63053 KachelY + 1 77165 -0.11902732 -0.53064424 -6.819763 -30.403675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53060290--0.53064424) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53060290--0.53064424) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11907526--0.11902732) × cos(-0.53060290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862502127671633 × 6371000     		do = 263.430350595663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11907526--0.11902732) × cos(-0.53064424) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862481206685601 × 6371000     		du = 263.423960788023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53060290)-sin(-0.53064424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862502127671633-0.862481206685601)×R²
    abs(-0.11902732--0.11907526)×2.09209860311255e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09209860311255e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09209860311255e-05×40589641000000     		ar = 69380.6908744511m²