Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6305 / 6205
↖ ↑ ↗
← S 67.558948°
E 97.075195°		 ← 1 865.33 m → S 67.558948°
E 97.119141°		 →
↑
1 864.66 m
↓
↑
1 864.66 m
↓
S 67.575717°
E 97.075195°		 ← 1 864.01 m →
3 476 990 m²		 S 67.575717°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76971435546875 y=0.75750732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76971435546875 × 213)
    floor (0.76971435546875 × 8192)
    floor (6305.5)     		tx = 6305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75750732421875 × 213)
    floor (0.75750732421875 × 8192)
    floor (6205.5)     		ty = 6205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6305 / 6205 ti = "13/6305/6205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6305/6205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6305 ÷ 213
    6305 ÷ 8192     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6205 ÷ 213
    6205 ÷ 8192     		y = 0.7574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61758274077917))-π/2
    2×atan(0.198377650180026)-π/2
    2×0.195835122524661-π/2
    0.391670245049322-1.57079632675     		φ = -1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6305 KachelY 6205 1.69428178 -1.17912608 97.075195 -67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 6306 KachelY 6205 1.69504877 -1.17912608 97.119141 -67.558948
    Unten links KachelX 6305 KachelY + 1 6206 1.69428178 -1.17941876 97.075195 -67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 6306 KachelY + 1 6206 1.69504877 -1.17941876 97.119141 -67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17912608--1.17941876) × R
    0.000292679999999823 × 6371000     		dl = 1864.66427999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17912608--1.17941876) × R
    0.000292679999999823 × 6371000     		dr = 1864.66427999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69504877) × cos(-1.17912608) × R
    0.000766990000000023 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 1865.33432837009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69504877) × cos(-1.17941876) × R
    0.000766990000000023 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 1864.01237313437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17912608)-sin(-1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381462177989466)×R²
    abs(1.69504877-1.69428178)×0.000270532497902154×R²
    0.000766990000000023×0.000270532497902154×6371000²
    0.000766990000000023×0.000270532497902154×40589641000000     		ar = 3476989.81583135m²