Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6305 / 6167
↖ ↑ ↗
← S 66.912834°
E 97.075195°		 ← 1 916.15 m → S 66.912834°
E 97.119141°		 →
↑
1 915.44 m
↓
↑
1 915.44 m
↓
S 66.930060°
E 97.075195°		 ← 1 914.79 m →
3 668 970 m²		 S 66.930060°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76971435546875 y=0.75286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76971435546875 × 213)
    floor (0.76971435546875 × 8192)
    floor (6305.5)     		tx = 6305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75286865234375 × 213)
    floor (0.75286865234375 × 8192)
    floor (6167.5)     		ty = 6167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6305 / 6167 ti = "13/6305/6167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6305/6167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6305 ÷ 213
    6305 ÷ 8192     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6167 ÷ 213
    6167 ÷ 8192     		y = 0.7528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58843710581018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58843710581018))-π/2
    2×atan(0.204244575075999)-π/2
    2×0.201473530711803-π/2
    0.402947061423607-1.57079632675     		φ = -1.16784927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16784927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.912834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6305 KachelY 6167 1.69428178 -1.16784927 97.075195 -66.912834
    Oben rechts KachelX + 1 6306 KachelY 6167 1.69504877 -1.16784927 97.119141 -66.912834
    Unten links KachelX 6305 KachelY + 1 6168 1.69428178 -1.16814992 97.075195 -66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 6306 KachelY + 1 6168 1.69504877 -1.16814992 97.119141 -66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16784927--1.16814992) × R
    0.000300650000000013 × 6371000     		dl = 1915.44115000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16784927--1.16814992) × R
    0.000300650000000013 × 6371000     		dr = 1915.44115000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69504877) × cos(-1.16784927) × R
    0.000766990000000023 × 0.392131066364439 × 6371000     		do = 1916.14582459043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69504877) × cos(-1.16814992) × R
    0.000766990000000023 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 1914.79427690362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16784927)-sin(-1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392131066364439-0.3918544778977)×R²
    abs(1.69504877-1.69428178)×0.000276588466738836×R²
    0.000766990000000023×0.000276588466738836×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276588466738836×40589641000000     		ar = 3668970.18442991m²