Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63047 / 77674
↖ ↑ ↗
← S 31.601931°
W  6.836242°		 ← 260.08 m → S 31.601931°
W  6.833496°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 31.604271°
W  6.836242°		 ← 260.07 m →
67 653 m²		 S 31.604271°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481014251708984 y=0.592609405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481014251708984 × 217)
    floor (0.481014251708984 × 131072)
    floor (63047.5)     		tx = 63047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592609405517578 × 217)
    floor (0.592609405517578 × 131072)
    floor (77674.5)     		ty = 77674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63047 / 77674 ti = "17/63047/77674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63047/77674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63047 ÷ 217
    63047 ÷ 131072     		x = 0.481010437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77674 ÷ 217
    77674 ÷ 131072     		y = 0.592605590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481010437011719 × 2 - 1) × π
    -0.0379791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11931494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.185211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.581858087588242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11931494} λ = -0.11931494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581858087588242))-π/2
    2×atan(0.558858992283073)-π/2
    2×0.509619288184103-π/2
    1.01923857636821-1.57079632675     		φ = -0.55155775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11931494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.836242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55155775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.601931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63047 KachelY 77674 -0.11931494 -0.55155775 -6.836242 -31.601931
    Oben rechts KachelX + 1 63048 KachelY 77674 -0.11926701 -0.55155775 -6.833496 -31.601931
    Unten links KachelX 63047 KachelY + 1 77675 -0.11931494 -0.55159858 -6.836242 -31.604271
    Unten rechts KachelX + 1 63048 KachelY + 1 77675 -0.11926701 -0.55159858 -6.833496 -31.604271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55155775--0.55159858) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55155775--0.55159858) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11931494--0.11926701) × cos(-0.55155775) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.851709271996507 × 6371000     		do = 260.079672266609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11931494--0.11926701) × cos(-0.55159858) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.851687875769874 × 6371000     		du = 260.07313867141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55155775)-sin(-0.55159858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851709271996507-0.851687875769874)×R²
    abs(-0.11926701--0.11931494)×2.13962266333301e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.13962266333301e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.13962266333301e-05×40589641000000     		ar = 67653.1370058811m²