Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63047 / 77672
↖ ↑ ↗
← S 31.597252°
W  6.836242°		 ← 260.09 m → S 31.597252°
W  6.833496°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 31.599592°
W  6.836242°		 ← 260.09 m →
67 657 m²		 S 31.599592°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481014251708984 y=0.592594146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481014251708984 × 217)
    floor (0.481014251708984 × 131072)
    floor (63047.5)     		tx = 63047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592594146728516 × 217)
    floor (0.592594146728516 × 131072)
    floor (77672.5)     		ty = 77672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63047 / 77672 ti = "17/63047/77672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63047/77672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63047 ÷ 217
    63047 ÷ 131072     		x = 0.481010437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77672 ÷ 217
    77672 ÷ 131072     		y = 0.59259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481010437011719 × 2 - 1) × π
    -0.0379791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11931494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.581762213789002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11931494} λ = -0.11931494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581762213789002))-π/2
    2×atan(0.55891257478644)-π/2
    2×0.509660117511533-π/2
    1.01932023502307-1.57079632675     		φ = -0.55147609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11931494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.836242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55147609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.597252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63047 KachelY 77672 -0.11931494 -0.55147609 -6.836242 -31.597252
    Oben rechts KachelX + 1 63048 KachelY 77672 -0.11926701 -0.55147609 -6.833496 -31.597252
    Unten links KachelX 63047 KachelY + 1 77673 -0.11931494 -0.55151692 -6.836242 -31.599592
    Unten rechts KachelX + 1 63048 KachelY + 1 77673 -0.11926701 -0.55151692 -6.833496 -31.599592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55147609--0.55151692) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55147609--0.55151692) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11931494--0.11926701) × cos(-0.55147609) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.851752060190113 × 6371000     		do = 260.092738156268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11931494--0.11926701) × cos(-0.55151692) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.851730666803265 × 6371000     		du = 260.086205428232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55147609)-sin(-0.55151692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851752060190113-0.851730666803265)×R²
    abs(-0.11926701--0.11931494)×2.13933868473681e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.13933868473681e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.13933868473681e-05×40589641000000     		ar = 67656.535921479m²