Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63046 / 38940
↖ ↑ ↗
← N 58.773896°
W  6.838989°		 ← 158.34 m → N 58.773896°
W  6.836242°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.772472°
W  6.838989°		 ← 158.34 m →
25 068 m²		 N 58.772472°
W  6.836242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481006622314453 y=0.297092437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481006622314453 × 217)
    floor (0.481006622314453 × 131072)
    floor (63046.5)     		tx = 63046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297092437744141 × 217)
    floor (0.297092437744141 × 131072)
    floor (38940.5)     		ty = 38940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63046 / 38940 ti = "17/63046/38940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63046/38940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63046 ÷ 217
    63046 ÷ 131072     		x = 0.481002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38940 ÷ 217
    38940 ÷ 131072     		y = 0.297088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297088623046875 × 2 - 1) × π
    0.40582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27492978229501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11936288} λ = -0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27492978229501))-π/2
    2×atan(3.57845013072396)-π/2
    2×1.2982971641625-π/2
    2.596594328325-1.57079632675     		φ = 1.02579800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02579800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.773896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63046 KachelY 38940 -0.11936288 1.02579800 -6.838989 58.773896
    Oben rechts KachelX + 1 63047 KachelY 38940 -0.11931494 1.02579800 -6.836242 58.773896
    Unten links KachelX 63046 KachelY + 1 38941 -0.11936288 1.02577315 -6.838989 58.772472
    Unten rechts KachelX + 1 63047 KachelY + 1 38941 -0.11931494 1.02577315 -6.836242 58.772472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02579800-1.02577315) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02579800-1.02577315) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11936288--0.11931494) × cos(1.02579800) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518416659700444 × 6371000     		do = 158.33779191737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11936288--0.11931494) × cos(1.02577315) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518437909475106 × 6371000     		du = 158.344282145521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02579800)-sin(1.02577315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518416659700444-0.518437909475106)×R²
    abs(-0.11931494--0.11936288)×2.12497746620022e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12497746620022e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12497746620022e-05×40589641000000     		ar = 25068.4500622886m²