Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63045 / 77067
↖ ↑ ↗
← S 30.171250°
W  6.841736°		 ← 264.05 m → S 30.171250°
W  6.838989°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 30.173625°
W  6.841736°		 ← 264.04 m →
69 729 m²		 S 30.173625°
W  6.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480998992919922 y=0.587978363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480998992919922 × 217)
    floor (0.480998992919922 × 131072)
    floor (63045.5)     		tx = 63045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587978363037109 × 217)
    floor (0.587978363037109 × 131072)
    floor (77067.5)     		ty = 77067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63045 / 77067 ti = "17/63045/77067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63045/77067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63045 ÷ 217
    63045 ÷ 131072     		x = 0.480995178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77067 ÷ 217
    77067 ÷ 131072     		y = 0.587974548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480995178222656 × 2 - 1) × π
    -0.0380096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11941082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587974548339844 × 2 - 1) × π
    -0.175949096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.552760389518868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11941082} λ = -0.11941082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552760389518868))-π/2
    2×atan(0.575359400256595)-π/2
    2×0.522104336696863-π/2
    1.04420867339373-1.57079632675     		φ = -0.52658765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11941082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.841736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52658765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.171250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63045 KachelY 77067 -0.11941082 -0.52658765 -6.841736 -30.171250
    Oben rechts KachelX + 1 63046 KachelY 77067 -0.11936288 -0.52658765 -6.838989 -30.171250
    Unten links KachelX 63045 KachelY + 1 77068 -0.11941082 -0.52662910 -6.841736 -30.173625
    Unten rechts KachelX + 1 63046 KachelY + 1 77068 -0.11936288 -0.52662910 -6.838989 -30.173625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52658765--0.52662910) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52658765--0.52662910) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11941082--0.11936288) × cos(-0.52658765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864527100548764 × 6371000     		do = 264.04882943514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11941082--0.11936288) × cos(-0.52662910) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864506267607943 × 6371000     		du = 264.042466518774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52658765)-sin(-0.52662910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864527100548764-0.864506267607943)×R²
    abs(-0.11936288--0.11941082)×2.0832940821558e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0832940821558e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0832940821558e-05×40589641000000     		ar = 69728.6334341457m²