Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63045 / 29258
↖ ↑ ↗
← N 70.071202°
W  6.841736°		 ← 104.11 m → N 70.071202°
W  6.838989°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 70.070266°
W  6.841736°		 ← 104.11 m →
10 838 m²		 N 70.070266°
W  6.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480998992919922 y=0.223224639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480998992919922 × 217)
    floor (0.480998992919922 × 131072)
    floor (63045.5)     		tx = 63045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223224639892578 × 217)
    floor (0.223224639892578 × 131072)
    floor (29258.5)     		ty = 29258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63045 / 29258 ti = "17/63045/29258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63045/29258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63045 ÷ 217
    63045 ÷ 131072     		x = 0.480995178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29258 ÷ 217
    29258 ÷ 131072     		y = 0.223220825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480995178222656 × 2 - 1) × π
    -0.0380096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11941082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223220825195312 × 2 - 1) × π
    0.553558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7390548444164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11941082} λ = -0.11941082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7390548444164))-π/2
    2×atan(5.69196109069559)-π/2
    2×1.39688476048562-π/2
    2.79376952097123-1.57079632675     		φ = 1.22297319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11941082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.841736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22297319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.071202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63045 KachelY 29258 -0.11941082 1.22297319 -6.841736 70.071202
    Oben rechts KachelX + 1 63046 KachelY 29258 -0.11936288 1.22297319 -6.838989 70.071202
    Unten links KachelX 63045 KachelY + 1 29259 -0.11941082 1.22295685 -6.841736 70.070266
    Unten rechts KachelX + 1 63046 KachelY + 1 29259 -0.11936288 1.22295685 -6.838989 70.070266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22297319-1.22295685) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22297319-1.22295685) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11941082--0.11936288) × cos(1.22297319) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		do = 104.105008148943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11941082--0.11936288) × cos(1.22295685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340867472190778 × 6371000     		du = 104.10969993579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22297319)-sin(1.22295685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340852110725676-0.340867472190778)×R²
    abs(-0.11936288--0.11941082)×1.53614651023926e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53614651023926e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53614651023926e-05×40589641000000     		ar = 10837.7983455996m²