Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63043 / 29259
↖ ↑ ↗
← N 70.070266°
W  6.847229°		 ← 104.11 m → N 70.070266°
W  6.844482°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 70.069330°
W  6.847229°		 ← 104.11 m →
10 838 m²		 N 70.069330°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480983734130859 y=0.223232269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480983734130859 × 217)
    floor (0.480983734130859 × 131072)
    floor (63043.5)     		tx = 63043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223232269287109 × 217)
    floor (0.223232269287109 × 131072)
    floor (29259.5)     		ty = 29259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63043 / 29259 ti = "17/63043/29259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63043/29259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63043 ÷ 217
    63043 ÷ 131072     		x = 0.480979919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29259 ÷ 217
    29259 ÷ 131072     		y = 0.223228454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480979919433594 × 2 - 1) × π
    -0.0380401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11950669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223228454589844 × 2 - 1) × π
    0.553543090820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.73900690751678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11950669} λ = -0.11950669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73900690751678))-π/2
    2×atan(5.69168824226795)-π/2
    2×1.39687659060491-π/2
    2.79375318120982-1.57079632675     		φ = 1.22295685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11950669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.847229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22295685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.070266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63043 KachelY 29259 -0.11950669 1.22295685 -6.847229 70.070266
    Oben rechts KachelX + 1 63044 KachelY 29259 -0.11945875 1.22295685 -6.844482 70.070266
    Unten links KachelX 63043 KachelY + 1 29260 -0.11950669 1.22294051 -6.847229 70.069330
    Unten rechts KachelX + 1 63044 KachelY + 1 29260 -0.11945875 1.22294051 -6.844482 70.069330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22295685-1.22294051) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dl = 104.102140001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22295685-1.22294051) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dr = 104.102140001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11950669--0.11945875) × cos(1.22295685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340867472190778 × 6371000     		do = 104.10969993579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11950669--0.11945875) × cos(1.22294051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.34088283356487 × 6371000     		du = 104.114391694839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22295685)-sin(1.22294051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340867472190778-0.34088283356487)×R²
    abs(-0.11945875--0.11950669)×1.53613740925262e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53613740925262e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53613740925262e-05×40589641000000     		ar = 10838.2867695454m²