Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63042 / 77210
↖ ↑ ↗
← S 30.510216°
W  6.849976°		 ← 263.14 m → S 30.510216°
W  6.847229°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
S 30.512583°
W  6.849976°		 ← 263.13 m →
69 236 m²		 S 30.512583°
W  6.847229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480976104736328 y=0.589069366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480976104736328 × 217)
    floor (0.480976104736328 × 131072)
    floor (63042.5)     		tx = 63042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589069366455078 × 217)
    floor (0.589069366455078 × 131072)
    floor (77210.5)     		ty = 77210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63042 / 77210 ti = "17/63042/77210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63042/77210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63042 ÷ 217
    63042 ÷ 131072     		x = 0.480972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77210 ÷ 217
    77210 ÷ 131072     		y = 0.589065551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589065551757812 × 2 - 1) × π
    -0.178131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559615366164536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11955463} λ = -0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559615366164536))-π/2
    2×atan(0.571428812440558)-π/2
    2×0.519146295932463-π/2
    1.03829259186493-1.57079632675     		φ = -0.53250373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53250373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.510216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63042 KachelY 77210 -0.11955463 -0.53250373 -6.849976 -30.510216
    Oben rechts KachelX + 1 63043 KachelY 77210 -0.11950669 -0.53250373 -6.847229 -30.510216
    Unten links KachelX 63042 KachelY + 1 77211 -0.11955463 -0.53254503 -6.849976 -30.512583
    Unten rechts KachelX + 1 63043 KachelY + 1 77211 -0.11950669 -0.53254503 -6.847229 -30.512583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53250373--0.53254503) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53250373--0.53254503) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11955463--0.11950669) × cos(-0.53250373) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		do = 263.13607926354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11955463--0.11950669) × cos(-0.53254503) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.861517680108464 × 6371000     		du = 263.129674970191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53250373)-sin(-0.53254503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86153864852242-0.861517680108464)×R²
    abs(-0.11950669--0.11955463)×2.09684139559352e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09684139559352e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09684139559352e-05×40589641000000     		ar = 69236.1278423619m²