Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63041 / 77213
↖ ↑ ↗
← S 30.517315°
W  6.852722°		 ← 263.06 m → S 30.517315°
W  6.849976°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 30.519681°
W  6.852722°		 ← 263.06 m →
69 200 m²		 S 30.519681°
W  6.849976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480968475341797 y=0.589092254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480968475341797 × 217)
    floor (0.480968475341797 × 131072)
    floor (63041.5)     		tx = 63041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589092254638672 × 217)
    floor (0.589092254638672 × 131072)
    floor (77213.5)     		ty = 77213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63041 / 77213 ti = "17/63041/77213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63041/77213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63041 ÷ 217
    63041 ÷ 131072     		x = 0.480964660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77213 ÷ 217
    77213 ÷ 131072     		y = 0.589088439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480964660644531 × 2 - 1) × π
    -0.0380706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11960256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589088439941406 × 2 - 1) × π
    -0.178176879882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.559759176863396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11960256} λ = -0.11960256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559759176863396))-π/2
    2×atan(0.571346640772416)-π/2
    2×0.519084348956682-π/2
    1.03816869791336-1.57079632675     		φ = -0.53262763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11960256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.852722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53262763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.517315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63041 KachelY 77213 -0.11960256 -0.53262763 -6.852722 -30.517315
    Oben rechts KachelX + 1 63042 KachelY 77213 -0.11955463 -0.53262763 -6.849976 -30.517315
    Unten links KachelX 63041 KachelY + 1 77214 -0.11960256 -0.53266892 -6.852722 -30.519681
    Unten rechts KachelX + 1 63042 KachelY + 1 77214 -0.11955463 -0.53266892 -6.849976 -30.519681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53262763--0.53266892) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53262763--0.53266892) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11960256--0.11955463) × cos(-0.53262763) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.861475738872141 × 6371000     		do = 263.061980417756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11960256--0.11955463) × cos(-0.53266892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.86145477112819 × 6371000     		du = 263.055577664898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53262763)-sin(-0.53266892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861475738872141-0.86145477112819)×R²
    abs(-0.11955463--0.11960256)×2.09677439517719e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09677439517719e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09677439517719e-05×40589641000000     		ar = 69199.8715115494m²