Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63041 / 31167
↖ ↑ ↗
← N 68.205232°
W  6.852722°		 ← 113.38 m → N 68.205232°
W  6.849976°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 68.204212°
W  6.852722°		 ← 113.38 m →
12 858 m²		 N 68.204212°
W  6.849976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480968475341797 y=0.237789154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480968475341797 × 217)
    floor (0.480968475341797 × 131072)
    floor (63041.5)     		tx = 63041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237789154052734 × 217)
    floor (0.237789154052734 × 131072)
    floor (31167.5)     		ty = 31167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63041 / 31167 ti = "17/63041/31167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63041/31167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63041 ÷ 217
    63041 ÷ 131072     		x = 0.480964660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31167 ÷ 217
    31167 ÷ 131072     		y = 0.237785339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480964660644531 × 2 - 1) × π
    -0.0380706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11960256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237785339355469 × 2 - 1) × π
    0.524429321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.64754330304171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11960256} λ = -0.11960256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64754330304171))-π/2
    2×atan(5.19420355581582)-π/2
    2×1.38060109587776-π/2
    2.76120219175551-1.57079632675     		φ = 1.19040587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11960256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.852722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19040587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.205232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63041 KachelY 31167 -0.11960256 1.19040587 -6.852722 68.205232
    Oben rechts KachelX + 1 63042 KachelY 31167 -0.11955463 1.19040587 -6.849976 68.205232
    Unten links KachelX 63041 KachelY + 1 31168 -0.11960256 1.19038807 -6.852722 68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 63042 KachelY + 1 31168 -0.11955463 1.19038807 -6.849976 68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19040587-1.19038807) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19040587-1.19038807) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11960256--0.11955463) × cos(1.19040587) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.371283044546291 × 6371000     		do = 113.37574418724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11960256--0.11955463) × cos(1.19038807) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 113.380791086433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19040587)-sin(1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371283044546291-0.371299572138779)×R²
    abs(-0.11955463--0.11960256)×1.6527592487825e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.6527592487825e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.6527592487825e-05×40589641000000     		ar = 12857.5263876188m²