Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63038 / 77058
↖ ↑ ↗
← S 30.149877°
W  6.860962°		 ← 264.11 m → S 30.149877°
W  6.858215°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 30.152252°
W  6.860962°		 ← 264.10 m →
69 744 m²		 S 30.152252°
W  6.858215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480945587158203 y=0.587909698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480945587158203 × 217)
    floor (0.480945587158203 × 131072)
    floor (63038.5)     		tx = 63038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587909698486328 × 217)
    floor (0.587909698486328 × 131072)
    floor (77058.5)     		ty = 77058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63038 / 77058 ti = "17/63038/77058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63038/77058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63038 ÷ 217
    63038 ÷ 131072     		x = 0.480941772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77058 ÷ 217
    77058 ÷ 131072     		y = 0.587905883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480941772460938 × 2 - 1) × π
    -0.038116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11974638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587905883789062 × 2 - 1) × π
    -0.175811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552328957422287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11974638} λ = -0.11974638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552328957422287))-π/2
    2×atan(0.575607682323511)-π/2
    2×0.522290849282141-π/2
    1.04458169856428-1.57079632675     		φ = -0.52621463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11974638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.860962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52621463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.149877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63038 KachelY 77058 -0.11974638 -0.52621463 -6.860962 -30.149877
    Oben rechts KachelX + 1 63039 KachelY 77058 -0.11969844 -0.52621463 -6.858215 -30.149877
    Unten links KachelX 63038 KachelY + 1 77059 -0.11974638 -0.52625608 -6.860962 -30.152252
    Unten rechts KachelX + 1 63039 KachelY + 1 77059 -0.11969844 -0.52625608 -6.858215 -30.152252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52621463--0.52625608) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52621463--0.52625608) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11974638--0.11969844) × cos(-0.52621463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864714515103376 × 6371000     		do = 264.106070664169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11974638--0.11969844) × cos(-0.52625608) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864693695530883 × 6371000     		du = 264.099711830834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52621463)-sin(-0.52625608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864714515103376-0.864693695530883)×R²
    abs(-0.11969844--0.11974638)×2.08195724928917e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08195724928917e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08195724928917e-05×40589641000000     		ar = 69743.7501196112m²