Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63038 / 29214
↖ ↑ ↗
← N 70.112354°
W  6.860962°		 ← 103.90 m → N 70.112354°
W  6.858215°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.111419°
W  6.860962°		 ← 103.90 m →
10 796 m²		 N 70.111419°
W  6.858215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480945587158203 y=0.222888946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480945587158203 × 217)
    floor (0.480945587158203 × 131072)
    floor (63038.5)     		tx = 63038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222888946533203 × 217)
    floor (0.222888946533203 × 131072)
    floor (29214.5)     		ty = 29214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63038 / 29214 ti = "17/63038/29214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63038/29214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63038 ÷ 217
    63038 ÷ 131072     		x = 0.480941772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29214 ÷ 217
    29214 ÷ 131072     		y = 0.222885131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480941772460938 × 2 - 1) × π
    -0.038116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11974638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222885131835938 × 2 - 1) × π
    0.554229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74116406799968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11974638} λ = -0.11974638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74116406799968))-π/2
    2×atan(5.70397937943663)-π/2
    2×1.39724387094499-π/2
    2.79448774188997-1.57079632675     		φ = 1.22369142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11974638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.860962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22369142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.112354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63038 KachelY 29214 -0.11974638 1.22369142 -6.860962 70.112354
    Oben rechts KachelX + 1 63039 KachelY 29214 -0.11969844 1.22369142 -6.858215 70.112354
    Unten links KachelX 63038 KachelY + 1 29215 -0.11974638 1.22367511 -6.860962 70.111419
    Unten rechts KachelX + 1 63039 KachelY + 1 29215 -0.11969844 1.22367511 -6.858215 70.111419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22369142-1.22367511) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22369142-1.22367511) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11974638--0.11969844) × cos(1.22369142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.3401768026874 × 6371000     		do = 103.898751691625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11974638--0.11969844) × cos(1.22367511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340192139938151 × 6371000     		du = 103.903436082785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22369142)-sin(1.22367511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3401768026874-0.340192139938151)×R²
    abs(-0.11969844--0.11974638)×1.53372507506466e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53372507506466e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53372507506466e-05×40589641000000     		ar = 10796.4676061758m²