Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63034 / 77082
↖ ↑ ↗
← S 30.206861°
W  6.871948°		 ← 263.90 m → S 30.206861°
W  6.869202°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.209235°
W  6.871948°		 ← 263.89 m →
69 655 m²		 S 30.209235°
W  6.869202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480915069580078 y=0.588092803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480915069580078 × 217)
    floor (0.480915069580078 × 131072)
    floor (63034.5)     		tx = 63034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588092803955078 × 217)
    floor (0.588092803955078 × 131072)
    floor (77082.5)     		ty = 77082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63034 / 77082 ti = "17/63034/77082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63034/77082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63034 ÷ 217
    63034 ÷ 131072     		x = 0.480911254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77082 ÷ 217
    77082 ÷ 131072     		y = 0.588088989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480911254882812 × 2 - 1) × π
    -0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588088989257812 × 2 - 1) × π
    -0.176177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.553479443013168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11993812} λ = -0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553479443013168))-π/2
    2×atan(0.574945834775033)-π/2
    2×0.521793572257605-π/2
    1.04358714451521-1.57079632675     		φ = -0.52720918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52720918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.206861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63034 KachelY 77082 -0.11993812 -0.52720918 -6.871948 -30.206861
    Oben rechts KachelX + 1 63035 KachelY 77082 -0.11989019 -0.52720918 -6.869202 -30.206861
    Unten links KachelX 63034 KachelY + 1 77083 -0.11993812 -0.52725061 -6.871948 -30.209235
    Unten rechts KachelX + 1 63035 KachelY + 1 77083 -0.11989019 -0.52725061 -6.869202 -30.209235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52720918--0.52725061) × R
    4.14299999998979e-05 × 6371000     		dl = 263.95052999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52720918--0.52725061) × R
    4.14299999998979e-05 × 6371000     		dr = 263.95052999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11993812--0.11989019) × cos(-0.52720918) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864214561182319 × 6371000     		do = 263.898312758201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11993812--0.11989019) × cos(-0.52725061) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864193716036668 × 6371000     		du = 263.891947442209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52720918)-sin(-0.52725061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864214561182319-0.864193716036668)×R²
    abs(-0.11989019--0.11993812)×2.08451456517045e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08451456517045e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08451456517045e-05×40589641000000     		ar = 69655.2594641274m²