Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63033 / 29228
↖ ↑ ↗
← N 70.099269°
W  6.874695°		 ← 103.96 m → N 70.099269°
W  6.871948°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.098334°
W  6.874695°		 ← 103.97 m →
10 803 m²		 N 70.098334°
W  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480907440185547 y=0.222995758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480907440185547 × 217)
    floor (0.480907440185547 × 131072)
    floor (63033.5)     		tx = 63033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222995758056641 × 217)
    floor (0.222995758056641 × 131072)
    floor (29228.5)     		ty = 29228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63033 / 29228 ti = "17/63033/29228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63033/29228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63033 ÷ 217
    63033 ÷ 131072     		x = 0.480903625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29228 ÷ 217
    29228 ÷ 131072     		y = 0.222991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480903625488281 × 2 - 1) × π
    -0.0381927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11998606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222991943359375 × 2 - 1) × π
    0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11998606} λ = -0.11998606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.740492951405))-π/2
    2×atan(5.70015262846104)-π/2
    2×1.39712968576883-π/2
    2.79425937153766-1.57079632675     		φ = 1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11998606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.874695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63033 KachelY 29228 -0.11998606 1.22346304 -6.874695 70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 63034 KachelY 29228 -0.11993812 1.22346304 -6.871948 70.099269
    Unten links KachelX 63033 KachelY + 1 29229 -0.11998606 1.22344673 -6.874695 70.098334
    Unten rechts KachelX + 1 63034 KachelY + 1 29229 -0.11993812 1.22344673 -6.871948 70.098334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22346304-1.22344673) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22346304-1.22344673) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11998606--0.11993812) × cos(1.22346304) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 103.964342139679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11998606--0.11993812) × cos(1.22344673) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.340406889555792 × 6371000     		du = 103.969026143698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22346304)-sin(1.22344673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.340406889555792)×R²
    abs(-0.11993812--0.11998606)×1.53359832050781e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.53359832050781e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.53359832050781e-05×40589641000000     		ar = 10803.2831556905m²