Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63031 / 77079
↖ ↑ ↗
← S 30.199740°
W  6.880188°		 ← 263.92 m → S 30.199740°
W  6.877442°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.202113°
W  6.880188°		 ← 263.91 m →
69 660 m²		 S 30.202113°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480892181396484 y=0.588069915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480892181396484 × 217)
    floor (0.480892181396484 × 131072)
    floor (63031.5)     		tx = 63031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588069915771484 × 217)
    floor (0.588069915771484 × 131072)
    floor (77079.5)     		ty = 77079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63031 / 77079 ti = "17/63031/77079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63031/77079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63031 ÷ 217
    63031 ÷ 131072     		x = 0.480888366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77079 ÷ 217
    77079 ÷ 131072     		y = 0.588066101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480888366699219 × 2 - 1) × π
    -0.0382232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12008193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588066101074219 × 2 - 1) × π
    -0.176132202148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.553335632314308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12008193} λ = -0.12008193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553335632314308))-π/2
    2×atan(0.575028524083)-π/2
    2×0.521855716155536-π/2
    1.04371143231107-1.57079632675     		φ = -0.52708489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12008193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.880188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52708489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.199740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63031 KachelY 77079 -0.12008193 -0.52708489 -6.880188 -30.199740
    Oben rechts KachelX + 1 63032 KachelY 77079 -0.12003400 -0.52708489 -6.877442 -30.199740
    Unten links KachelX 63031 KachelY + 1 77080 -0.12008193 -0.52712632 -6.880188 -30.202113
    Unten rechts KachelX + 1 63032 KachelY + 1 77080 -0.12003400 -0.52712632 -6.877442 -30.202113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52708489--0.52712632) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52708489--0.52712632) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12008193--0.12003400) × cos(-0.52708489) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864277087718872 × 6371000     		do = 263.917405988331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12008193--0.12003400) × cos(-0.52712632) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864256247023457 × 6371000     		du = 263.911042031273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52708489)-sin(-0.52712632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864277087718872-0.864256247023457)×R²
    abs(-0.12003400--0.12008193)×2.08406954145257e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08406954145257e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08406954145257e-05×40589641000000     		ar = 69660.2993120065m²