Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63031 / 77052
↖ ↑ ↗
← S 30.135626°
W  6.880188°		 ← 264.09 m → S 30.135626°
W  6.877442°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
S 30.138002°
W  6.880188°		 ← 264.08 m →
69 756 m²		 S 30.138002°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480892181396484 y=0.587863922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480892181396484 × 217)
    floor (0.480892181396484 × 131072)
    floor (63031.5)     		tx = 63031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587863922119141 × 217)
    floor (0.587863922119141 × 131072)
    floor (77052.5)     		ty = 77052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63031 / 77052 ti = "17/63031/77052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63031/77052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63031 ÷ 217
    63031 ÷ 131072     		x = 0.480888366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77052 ÷ 217
    77052 ÷ 131072     		y = 0.587860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480888366699219 × 2 - 1) × π
    -0.0382232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12008193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12008193} λ = -0.12008193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552041336024567))-π/2
    2×atan(0.575773263220802)-π/2
    2×0.522415213462437-π/2
    1.04483042692487-1.57079632675     		φ = -0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12008193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.880188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63031 KachelY 77052 -0.12008193 -0.52596590 -6.880188 -30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 63032 KachelY 77052 -0.12003400 -0.52596590 -6.877442 -30.135626
    Unten links KachelX 63031 KachelY + 1 77053 -0.12008193 -0.52600736 -6.880188 -30.138002
    Unten rechts KachelX + 1 63032 KachelY + 1 77053 -0.12003400 -0.52600736 -6.877442 -30.138002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52596590--0.52600736) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52596590--0.52600736) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12008193--0.12003400) × cos(-0.52596590) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 264.089119815778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12008193--0.12003400) × cos(-0.52600736) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864818600721792 × 6371000     		du = 264.082763498174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52596590)-sin(-0.52600736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864818600721792)×R²
    abs(-0.12003400--0.12008193)×2.08156777165014e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08156777165014e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08156777165014e-05×40589641000000     		ar = 69756.0990219893m²