Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63030 / 77053
↖ ↑ ↗
← S 30.138002°
W  6.882935°		 ← 264.14 m → S 30.138002°
W  6.880188°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 30.140377°
W  6.882935°		 ← 264.13 m →
69 752 m²		 S 30.140377°
W  6.880188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480884552001953 y=0.587871551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480884552001953 × 217)
    floor (0.480884552001953 × 131072)
    floor (63030.5)     		tx = 63030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587871551513672 × 217)
    floor (0.587871551513672 × 131072)
    floor (77053.5)     		ty = 77053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63030 / 77053 ti = "17/63030/77053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63030/77053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63030 ÷ 217
    63030 ÷ 131072     		x = 0.480880737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77053 ÷ 217
    77053 ÷ 131072     		y = 0.587867736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480880737304688 × 2 - 1) × π
    -0.038238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12012987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587867736816406 × 2 - 1) × π
    -0.175735473632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.552089272924187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12012987} λ = -0.12012987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552089272924187))-π/2
    2×atan(0.575745663097217)-π/2
    2×0.522394484851731-π/2
    1.04478896970346-1.57079632675     		φ = -0.52600736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12012987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.882935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52600736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.138002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63030 KachelY 77053 -0.12012987 -0.52600736 -6.882935 -30.138002
    Oben rechts KachelX + 1 63031 KachelY 77053 -0.12008193 -0.52600736 -6.880188 -30.138002
    Unten links KachelX 63030 KachelY + 1 77054 -0.12012987 -0.52604881 -6.882935 -30.140377
    Unten rechts KachelX + 1 63031 KachelY + 1 77054 -0.12008193 -0.52604881 -6.880188 -30.140377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52600736--0.52604881) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52600736--0.52604881) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12012987--0.12008193) × cos(-0.52600736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864818600721792 × 6371000     		do = 264.137861091197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12012987--0.12008193) × cos(-0.52604881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864797788578714 × 6371000     		du = 264.131504526997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52600736)-sin(-0.52604881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864818600721792-0.864797788578714)×R²
    abs(-0.12008193--0.12012987)×2.08121430775865e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08121430775865e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08121430775865e-05×40589641000000     		ar = 69752.1455700404m²