Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63029 / 77717
↖ ↑ ↗
← S 31.702466°
W  6.885681°		 ← 259.85 m → S 31.702466°
W  6.882935°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
S 31.704803°
W  6.885681°		 ← 259.85 m →
67 511 m²		 S 31.704803°
W  6.882935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480876922607422 y=0.592937469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480876922607422 × 217)
    floor (0.480876922607422 × 131072)
    floor (63029.5)     		tx = 63029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592937469482422 × 217)
    floor (0.592937469482422 × 131072)
    floor (77717.5)     		ty = 77717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63029 / 77717 ti = "17/63029/77717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63029/77717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63029 ÷ 217
    63029 ÷ 131072     		x = 0.480873107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77717 ÷ 217
    77717 ÷ 131072     		y = 0.592933654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480873107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0382537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12017781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592933654785156 × 2 - 1) × π
    -0.185867309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.583919374271904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12017781} λ = -0.12017781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583919374271904))-π/2
    2×atan(0.557708210137654)-π/2
    2×0.508741954053588-π/2
    1.01748390810718-1.57079632675     		φ = -0.55331242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12017781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.885681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55331242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.702466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63029 KachelY 77717 -0.12017781 -0.55331242 -6.885681 -31.702466
    Oben rechts KachelX + 1 63030 KachelY 77717 -0.12012987 -0.55331242 -6.882935 -31.702466
    Unten links KachelX 63029 KachelY + 1 77718 -0.12017781 -0.55335320 -6.885681 -31.704803
    Unten rechts KachelX + 1 63030 KachelY + 1 77718 -0.12012987 -0.55335320 -6.882935 -31.704803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55331242--0.55335320) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55331242--0.55335320) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12017781--0.12012987) × cos(-0.55331242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850788488595696 × 6371000     		do = 259.852703712802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12017781--0.12012987) × cos(-0.55335320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85076705766079 × 6371000     		du = 259.84615815365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55331242)-sin(-0.55335320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850788488595696-0.85076705766079)×R²
    abs(-0.12012987--0.12017781)×2.14309349051423e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14309349051423e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14309349051423e-05×40589641000000     		ar = 67511.3195534876m²