Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63029 / 28243
↖ ↑ ↗
← N 70.999977°
W  6.885681°		 ← 99.44 m → N 70.999977°
W  6.882935°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.999083°
W  6.885681°		 ← 99.44 m →
9 889 m²		 N 70.999083°
W  6.882935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480876922607422 y=0.215480804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480876922607422 × 217)
    floor (0.480876922607422 × 131072)
    floor (63029.5)     		tx = 63029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215480804443359 × 217)
    floor (0.215480804443359 × 131072)
    floor (28243.5)     		ty = 28243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63029 / 28243 ti = "17/63029/28243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63029/28243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63029 ÷ 217
    63029 ÷ 131072     		x = 0.480873107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28243 ÷ 217
    28243 ÷ 131072     		y = 0.215476989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480873107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0382537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12017781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215476989746094 × 2 - 1) × π
    0.569046020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.78771079753075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12017781} λ = -0.12017781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78771079753075))-π/2
    2×atan(5.97575707874607)-π/2
    2×1.4049898493879-π/2
    2.80997969877579-1.57079632675     		φ = 1.23918337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12017781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.885681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23918337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.999977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63029 KachelY 28243 -0.12017781 1.23918337 -6.885681 70.999977
    Oben rechts KachelX + 1 63030 KachelY 28243 -0.12012987 1.23918337 -6.882935 70.999977
    Unten links KachelX 63029 KachelY + 1 28244 -0.12017781 1.23916776 -6.885681 70.999083
    Unten rechts KachelX + 1 63030 KachelY + 1 28244 -0.12012987 1.23916776 -6.882935 70.999083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23918337-1.23916776) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23918337-1.23916776) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12017781--0.12012987) × cos(1.23918337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325568531639594 × 6371000     		do = 99.4370096967289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12017781--0.12012987) × cos(1.23916776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325583291142865 × 6371000     		du = 99.4415176289375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23918337)-sin(1.23916776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325568531639594-0.325583291142865)×R²
    abs(-0.12012987--0.12017781)×1.47595032711223e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47595032711223e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47595032711223e-05×40589641000000     		ar = 9889.36503679017m²