Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63026 / 77622
↖ ↑ ↗
← S 31.480209°
W  6.893921°		 ← 260.47 m → S 31.480209°
W  6.891174°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
S 31.482551°
W  6.893921°		 ← 260.47 m →
67 839 m²		 S 31.482551°
W  6.891174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480854034423828 y=0.592212677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480854034423828 × 217)
    floor (0.480854034423828 × 131072)
    floor (63026.5)     		tx = 63026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592212677001953 × 217)
    floor (0.592212677001953 × 131072)
    floor (77622.5)     		ty = 77622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63026 / 77622 ti = "17/63026/77622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63026/77622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63026 ÷ 217
    63026 ÷ 131072     		x = 0.480850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77622 ÷ 217
    77622 ÷ 131072     		y = 0.592208862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592208862304688 × 2 - 1) × π
    -0.184417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.579365368807999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12032162} λ = -0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579365368807999))-π/2
    2×atan(0.560253808308454)-π/2
    2×0.510681516836074-π/2
    1.02136303367215-1.57079632675     		φ = -0.54943329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54943329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.480209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63026 KachelY 77622 -0.12032162 -0.54943329 -6.893921 -31.480209
    Oben rechts KachelX + 1 63027 KachelY 77622 -0.12027368 -0.54943329 -6.891174 -31.480209
    Unten links KachelX 63026 KachelY + 1 77623 -0.12032162 -0.54947417 -6.893921 -31.482551
    Unten rechts KachelX + 1 63027 KachelY + 1 77623 -0.12027368 -0.54947417 -6.891174 -31.482551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54943329--0.54947417) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54943329--0.54947417) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(-0.54943329) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.852820597224678 × 6371000     		do = 260.473361994645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(-0.54947417) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.852799248812115 × 6371000     		du = 260.46684163994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54943329)-sin(-0.54947417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852820597224678-0.852799248812115)×R²
    abs(-0.12027368--0.12032162)×2.13484125636265e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.13484125636265e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.13484125636265e-05×40589641000000     		ar = 67838.5211729394m²