Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63026 / 39685
↖ ↑ ↗
← N 57.696809°
W  6.893921°		 ← 163.22 m → N 57.696809°
W  6.891174°		 →
↑
163.23 m
↓
↑
163.23 m
↓
N 57.695341°
W  6.893921°		 ← 163.23 m →
26 642 m²		 N 57.695341°
W  6.891174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480854034423828 y=0.302776336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480854034423828 × 217)
    floor (0.480854034423828 × 131072)
    floor (63026.5)     		tx = 63026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302776336669922 × 217)
    floor (0.302776336669922 × 131072)
    floor (39685.5)     		ty = 39685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63026 / 39685 ti = "17/63026/39685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63026/39685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63026 ÷ 217
    63026 ÷ 131072     		x = 0.480850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39685 ÷ 217
    39685 ÷ 131072     		y = 0.302772521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302772521972656 × 2 - 1) × π
    0.394454956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.23921679207807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12032162} λ = -0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23921679207807))-π/2
    2×atan(3.45290806050727)-π/2
    2×1.28889780689374-π/2
    2.57779561378749-1.57079632675     		φ = 1.00699929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00699929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.696809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63026 KachelY 39685 -0.12032162 1.00699929 -6.893921 57.696809
    Oben rechts KachelX + 1 63027 KachelY 39685 -0.12027368 1.00699929 -6.891174 57.696809
    Unten links KachelX 63026 KachelY + 1 39686 -0.12032162 1.00697367 -6.893921 57.695341
    Unten rechts KachelX + 1 63027 KachelY + 1 39686 -0.12027368 1.00697367 -6.891174 57.695341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00699929-1.00697367) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dl = 163.225019999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00699929-1.00697367) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dr = 163.225019999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(1.00699929) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.534399419840925 × 6371000     		do = 163.21933826052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(1.00697367) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.53442107451129 × 6371000     		du = 163.225952154241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00699929)-sin(1.00697367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534399419840925-0.53442107451129)×R²
    abs(-0.12027368--0.12032162)×2.16546703651899e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.16546703651899e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.16546703651899e-05×40589641000000     		ar = 26642.0195297409m²