Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63026 / 39634
↖ ↑ ↗
← N 57.771588°
W  6.893921°		 ← 162.88 m → N 57.771588°
W  6.891174°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.770123°
W  6.893921°		 ← 162.89 m →
26 535 m²		 N 57.770123°
W  6.891174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480854034423828 y=0.302387237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480854034423828 × 217)
    floor (0.480854034423828 × 131072)
    floor (63026.5)     		tx = 63026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302387237548828 × 217)
    floor (0.302387237548828 × 131072)
    floor (39634.5)     		ty = 39634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63026 / 39634 ti = "17/63026/39634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63026/39634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63026 ÷ 217
    63026 ÷ 131072     		x = 0.480850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39634 ÷ 217
    39634 ÷ 131072     		y = 0.302383422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302383422851562 × 2 - 1) × π
    0.395233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24166157395869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12032162} λ = -0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24166157395869))-π/2
    2×atan(3.46135999492738)-π/2
    2×1.28955037725009-π/2
    2.57910075450018-1.57079632675     		φ = 1.00830443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00830443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.771588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63026 KachelY 39634 -0.12032162 1.00830443 -6.893921 57.771588
    Oben rechts KachelX + 1 63027 KachelY 39634 -0.12027368 1.00830443 -6.891174 57.771588
    Unten links KachelX 63026 KachelY + 1 39635 -0.12032162 1.00827886 -6.893921 57.770123
    Unten rechts KachelX + 1 63027 KachelY + 1 39635 -0.12027368 1.00827886 -6.891174 57.770123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00830443-1.00827886) × R
    2.55699999998082e-05 × 6371000     		dl = 162.906469998778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00830443-1.00827886) × R
    2.55699999998082e-05 × 6371000     		dr = 162.906469998778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(1.00830443) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.533295818818792 × 6371000     		do = 162.88227010167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12032162--0.12027368) × cos(1.00827886) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.533317449044393 × 6371000     		du = 162.888876529331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00830443)-sin(1.00827886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533295818818792-0.533317449044393)×R²
    abs(-0.12027368--0.12032162)×2.1630225600866e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.1630225600866e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.1630225600866e-05×40589641000000     		ar = 26535.1137641858m²