Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63025 / 77709
↖ ↑ ↗
← S 31.683770°
W  6.896667°		 ← 259.85 m → S 31.683770°
W  6.893921°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 31.686107°
W  6.896667°		 ← 259.84 m →
67 527 m²		 S 31.686107°
W  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480846405029297 y=0.592876434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480846405029297 × 217)
    floor (0.480846405029297 × 131072)
    floor (63025.5)     		tx = 63025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592876434326172 × 217)
    floor (0.592876434326172 × 131072)
    floor (77709.5)     		ty = 77709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63025 / 77709 ti = "17/63025/77709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63025/77709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63025 ÷ 217
    63025 ÷ 131072     		x = 0.480842590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77709 ÷ 217
    77709 ÷ 131072     		y = 0.592872619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480842590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0383148193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12036955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592872619628906 × 2 - 1) × π
    -0.185745239257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.583535879074944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12036955} λ = -0.12036955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583535879074944))-π/2
    2×atan(0.557922129573464)-π/2
    2×0.508905107139888-π/2
    1.01781021427978-1.57079632675     		φ = -0.55298611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12036955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.896667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55298611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.683770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63025 KachelY 77709 -0.12036955 -0.55298611 -6.896667 -31.683770
    Oben rechts KachelX + 1 63026 KachelY 77709 -0.12032162 -0.55298611 -6.893921 -31.683770
    Unten links KachelX 63025 KachelY + 1 77710 -0.12036955 -0.55302690 -6.896667 -31.686107
    Unten rechts KachelX + 1 63026 KachelY + 1 77710 -0.12032162 -0.55302690 -6.893921 -31.686107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55298611--0.55302690) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55298611--0.55302690) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12036955--0.12032162) × cos(-0.55298611) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850959921902828 × 6371000     		do = 259.850849200898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12036955--0.12032162) × cos(-0.55302690) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850938497037643 × 6371000     		du = 259.844306860572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55298611)-sin(-0.55302690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850959921902828-0.850938497037643)×R²
    abs(-0.12032162--0.12036955)×2.14248651845272e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14248651845272e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14248651845272e-05×40589641000000     		ar = 67527.3930411624m²