Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63025 / 77168
↖ ↑ ↗
← S 30.410782°
W  6.896667°		 ← 263.35 m → S 30.410782°
W  6.893921°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
S 30.413150°
W  6.896667°		 ← 263.34 m →
69 359 m²		 S 30.413150°
W  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480846405029297 y=0.588748931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480846405029297 × 217)
    floor (0.480846405029297 × 131072)
    floor (63025.5)     		tx = 63025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588748931884766 × 217)
    floor (0.588748931884766 × 131072)
    floor (77168.5)     		ty = 77168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63025 / 77168 ti = "17/63025/77168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63025/77168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63025 ÷ 217
    63025 ÷ 131072     		x = 0.480842590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77168 ÷ 217
    77168 ÷ 131072     		y = 0.5887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480842590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0383148193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12036955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12036955} λ = -0.12036955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557602016380493))-π/2
    2×atan(0.572580457459782)-π/2
    2×0.520014028226422-π/2
    1.04002805645284-1.57079632675     		φ = -0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12036955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.896667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63025 KachelY 77168 -0.12036955 -0.53076827 -6.896667 -30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 63026 KachelY 77168 -0.12032162 -0.53076827 -6.893921 -30.410782
    Unten links KachelX 63025 KachelY + 1 77169 -0.12036955 -0.53080961 -6.896667 -30.413150
    Unten rechts KachelX + 1 63026 KachelY + 1 77169 -0.12032162 -0.53080961 -6.893921 -30.413150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53076827--0.53080961) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53076827--0.53080961) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12036955--0.12032162) × cos(-0.53076827) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 263.349842439816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12036955--0.12032162) × cos(-0.53080961) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.862397502939751 × 6371000     		du = 263.343452164622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53076827)-sin(-0.53080961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862397502939751)×R²
    abs(-0.12032162--0.12036955)×2.09268820794417e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09268820794417e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09268820794417e-05×40589641000000     		ar = 69359.4868049651m²