Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63023 / 77713
↖ ↑ ↗
← S 31.693119°
W  6.902161°		 ← 259.88 m → S 31.693119°
W  6.899414°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 31.695456°
W  6.902161°		 ← 259.87 m →
67 535 m²		 S 31.695456°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480831146240234 y=0.592906951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480831146240234 × 217)
    floor (0.480831146240234 × 131072)
    floor (63023.5)     		tx = 63023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592906951904297 × 217)
    floor (0.592906951904297 × 131072)
    floor (77713.5)     		ty = 77713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63023 / 77713 ti = "17/63023/77713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63023/77713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63023 ÷ 217
    63023 ÷ 131072     		x = 0.480827331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77713 ÷ 217
    77713 ÷ 131072     		y = 0.592903137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480827331542969 × 2 - 1) × π
    -0.0383453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12046543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592903137207031 × 2 - 1) × π
    -0.185806274414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.583727626673424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12046543} λ = -0.12046543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583727626673424))-π/2
    2×atan(0.557815159600924)-π/2
    2×0.508823526487796-π/2
    1.01764705297559-1.57079632675     		φ = -0.55314927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12046543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.902161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55314927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.693119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63023 KachelY 77713 -0.12046543 -0.55314927 -6.902161 -31.693119
    Oben rechts KachelX + 1 63024 KachelY 77713 -0.12041749 -0.55314927 -6.899414 -31.693119
    Unten links KachelX 63023 KachelY + 1 77714 -0.12046543 -0.55319006 -6.902161 -31.695456
    Unten rechts KachelX + 1 63024 KachelY + 1 77714 -0.12041749 -0.55319006 -6.899414 -31.695456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55314927--0.55319006) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55314927--0.55319006) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12046543--0.12041749) × cos(-0.55314927) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850874213947361 × 6371000     		do = 259.878886441771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12046543--0.12041749) × cos(-0.55319006) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850852783419142 × 6371000     		du = 259.872341006831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55314927)-sin(-0.55319006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850874213947361-0.850852783419142)×R²
    abs(-0.12041749--0.12046543)×2.14305282185689e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14305282185689e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14305282185689e-05×40589641000000     		ar = 67534.6787636186m²