Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63023 / 77038
↖ ↑ ↗
← S 30.102365°
W  6.902161°		 ← 264.23 m → S 30.102365°
W  6.899414°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
S 30.104742°
W  6.902161°		 ← 264.23 m →
69 828 m²		 S 30.104742°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480831146240234 y=0.587757110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480831146240234 × 217)
    floor (0.480831146240234 × 131072)
    floor (63023.5)     		tx = 63023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587757110595703 × 217)
    floor (0.587757110595703 × 131072)
    floor (77038.5)     		ty = 77038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63023 / 77038 ti = "17/63023/77038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63023/77038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63023 ÷ 217
    63023 ÷ 131072     		x = 0.480827331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77038 ÷ 217
    77038 ÷ 131072     		y = 0.587753295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480827331542969 × 2 - 1) × π
    -0.0383453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12046543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.175506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.551370219429886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12046543} λ = -0.12046543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551370219429886))-π/2
    2×atan(0.576159803904949)-π/2
    2×0.522705466383369-π/2
    1.04541093276674-1.57079632675     		φ = -0.52538539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12046543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.902161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52538539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.102365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63023 KachelY 77038 -0.12046543 -0.52538539 -6.902161 -30.102365
    Oben rechts KachelX + 1 63024 KachelY 77038 -0.12041749 -0.52538539 -6.899414 -30.102365
    Unten links KachelX 63023 KachelY + 1 77039 -0.12046543 -0.52542687 -6.902161 -30.104742
    Unten rechts KachelX + 1 63024 KachelY + 1 77039 -0.12041749 -0.52542687 -6.899414 -30.104742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52538539--0.52542687) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dl = 264.269080000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52538539--0.52542687) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dr = 264.269080000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12046543--0.12041749) × cos(-0.52538539) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865130714886538 × 6371000     		do = 264.233188790929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12046543--0.12041749) × cos(-0.52542687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865109909995337 × 6371000     		du = 264.226834441639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52538539)-sin(-0.52542687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865130714886538-0.865109909995337)×R²
    abs(-0.12041749--0.12046543)×2.08048912001546e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08048912001546e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08048912001546e-05×40589641000000     		ar = 69827.8220882225m²