Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63022 / 77170
↖ ↑ ↗
← S 30.415519°
W  6.904907°		 ← 263.39 m → S 30.415519°
W  6.902161°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
S 30.417888°
W  6.904907°		 ← 263.39 m →
69 371 m²		 S 30.417888°
W  6.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480823516845703 y=0.588764190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480823516845703 × 217)
    floor (0.480823516845703 × 131072)
    floor (63022.5)     		tx = 63022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588764190673828 × 217)
    floor (0.588764190673828 × 131072)
    floor (77170.5)     		ty = 77170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63022 / 77170 ti = "17/63022/77170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63022/77170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63022 ÷ 217
    63022 ÷ 131072     		x = 0.480819702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77170 ÷ 217
    77170 ÷ 131072     		y = 0.588760375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.038360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12051337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.177520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.557697890179733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12051337} λ = -0.12051337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557697890179733))-π/2
    2×atan(0.572525564627389)-π/2
    2×0.519972687563935-π/2
    1.03994537512787-1.57079632675     		φ = -0.53085095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12051337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53085095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63022 KachelY 77170 -0.12051337 -0.53085095 -6.904907 -30.415519
    Oben rechts KachelX + 1 63023 KachelY 77170 -0.12046543 -0.53085095 -6.902161 -30.415519
    Unten links KachelX 63022 KachelY + 1 77171 -0.12051337 -0.53089229 -6.904907 -30.417888
    Unten rechts KachelX + 1 63023 KachelY + 1 77171 -0.12046543 -0.53089229 -6.902161 -30.417888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53085095--0.53089229) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53085095--0.53089229) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12051337--0.12046543) × cos(-0.53085095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862376574583838 × 6371000     		do = 263.392003450914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12051337--0.12046543) × cos(-0.53089229) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862355644754128 × 6371000     		du = 263.385610942186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53085095)-sin(-0.53089229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862376574583838-0.862355644754128)×R²
    abs(-0.12046543--0.12051337)×2.09298297108029e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09298297108029e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09298297108029e-05×40589641000000     		ar = 69370.5907572449m²