Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63021 / 29236
↖ ↑ ↗
← N 70.091788°
W  6.907654°		 ← 103.98 m → N 70.091788°
W  6.904907°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.090853°
W  6.907654°		 ← 103.98 m →
10 812 m²		 N 70.090853°
W  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480815887451172 y=0.223056793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480815887451172 × 217)
    floor (0.480815887451172 × 131072)
    floor (63021.5)     		tx = 63021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223056793212891 × 217)
    floor (0.223056793212891 × 131072)
    floor (29236.5)     		ty = 29236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63021 / 29236 ti = "17/63021/29236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63021/29236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63021 ÷ 217
    63021 ÷ 131072     		x = 0.480812072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29236 ÷ 217
    29236 ÷ 131072     		y = 0.223052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480812072753906 × 2 - 1) × π
    -0.0383758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12056130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223052978515625 × 2 - 1) × π
    0.55389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74010945620804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12056130} λ = -0.12056130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74010945620804))-π/2
    2×atan(5.69796706640915)-π/2
    2×1.39706440473765-π/2
    2.7941288094753-1.57079632675     		φ = 1.22333248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12056130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.907654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22333248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.091788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63021 KachelY 29236 -0.12056130 1.22333248 -6.907654 70.091788
    Oben rechts KachelX + 1 63022 KachelY 29236 -0.12051337 1.22333248 -6.904907 70.091788
    Unten links KachelX 63021 KachelY + 1 29237 -0.12056130 1.22331616 -6.907654 70.090853
    Unten rechts KachelX + 1 63022 KachelY + 1 29237 -0.12051337 1.22331616 -6.904907 70.090853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22333248-1.22331616) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22333248-1.22331616) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12056130--0.12051337) × cos(1.22333248) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340514314121643 × 6371000     		do = 103.980142204246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12056130--0.12051337) × cos(1.22331616) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340529658782198 × 6371000     		du = 103.984827880943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22333248)-sin(1.22331616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340514314121643-0.340529658782198)×R²
    abs(-0.12051337--0.12056130)×1.53446605547503e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.53446605547503e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.53446605547503e-05×40589641000000     		ar = 10811.5497674429m²