Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63020 / 38892
↖ ↑ ↗
← N 58.842175°
W  6.910400°		 ← 158.03 m → N 58.842175°
W  6.907654°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.840754°
W  6.910400°		 ← 158.03 m →
24 969 m²		 N 58.840754°
W  6.907654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480808258056641 y=0.296726226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480808258056641 × 217)
    floor (0.480808258056641 × 131072)
    floor (63020.5)     		tx = 63020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296726226806641 × 217)
    floor (0.296726226806641 × 131072)
    floor (38892.5)     		ty = 38892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63020 / 38892 ti = "17/63020/38892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63020/38892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63020 ÷ 217
    63020 ÷ 131072     		x = 0.480804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38892 ÷ 217
    38892 ÷ 131072     		y = 0.296722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.03839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12060924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296722412109375 × 2 - 1) × π
    0.40655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27723075347678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12060924} λ = -0.12060924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27723075347678))-π/2
    2×atan(3.58669352161554)-π/2
    2×1.29889300852537-π/2
    2.59778601705075-1.57079632675     		φ = 1.02698969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12060924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02698969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.842175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63020 KachelY 38892 -0.12060924 1.02698969 -6.910400 58.842175
    Oben rechts KachelX + 1 63021 KachelY 38892 -0.12056130 1.02698969 -6.907654 58.842175
    Unten links KachelX 63020 KachelY + 1 38893 -0.12060924 1.02696489 -6.910400 58.840754
    Unten rechts KachelX + 1 63021 KachelY + 1 38893 -0.12056130 1.02696489 -6.907654 58.840754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02698969-1.02696489) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dl = 158.000800000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02698969-1.02696489) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dr = 158.000800000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12060924--0.12056130) × cos(1.02698969) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.517397244158595 × 6371000     		do = 158.026436171133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12060924--0.12056130) × cos(1.02696489) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.517418466483985 × 6371000     		du = 158.03291801557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02698969)-sin(1.02696489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517397244158595-0.517418466483985)×R²
    abs(-0.12056130--0.12060924)×2.12223253894805e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12223253894805e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12223253894805e-05×40589641000000     		ar = 24968.8154059155m²