Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6302 / 10398
↖ ↑ ↗
← S 43.548548°
W 41.528320°		 ← 1 770.82 m → S 43.548548°
W 41.506348°		 →
↑
1 770.63 m
↓
↑
1 770.63 m
↓
S 43.564472°
W 41.528320°		 ← 1 770.35 m →
3 135 049 m²		 S 43.564472°
W 41.506348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384674072265625 y=0.634674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384674072265625 × 214)
    floor (0.384674072265625 × 16384)
    floor (6302.5)     		tx = 6302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634674072265625 × 214)
    floor (0.634674072265625 × 16384)
    floor (10398.5)     		ty = 10398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6302 / 10398 ti = "14/6302/10398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6302/10398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6302 ÷ 214
    6302 ÷ 16384     		x = 0.3846435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10398 ÷ 214
    10398 ÷ 16384     		y = 0.6346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.72480592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.845990404494751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72480592} λ = -0.72480592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845990404494751))-π/2
    2×atan(0.429132133279514)-π/2
    2×0.405365388906918-π/2
    0.810730777813836-1.57079632675     		φ = -0.76006555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72480592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.528320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76006555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.548548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6302 KachelY 10398 -0.72480592 -0.76006555 -41.528320 -43.548548
    Oben rechts KachelX + 1 6303 KachelY 10398 -0.72442243 -0.76006555 -41.506348 -43.548548
    Unten links KachelX 6302 KachelY + 1 10399 -0.72480592 -0.76034347 -41.528320 -43.564472
    Unten rechts KachelX + 1 6303 KachelY + 1 10399 -0.72442243 -0.76034347 -41.506348 -43.564472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76006555--0.76034347) × R
    0.000277920000000043 × 6371000     		dl = 1770.62832000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76006555--0.76034347) × R
    0.000277920000000043 × 6371000     		dr = 1770.62832000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72480592--0.72442243) × cos(-0.76006555) × R
    0.000383490000000042 × 0.724790850382972 × 6371000     		do = 1770.81972531255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72480592--0.72442243) × cos(-0.76034347) × R
    0.000383490000000042 × 0.724599344141759 × 6371000     		du = 1770.35183443164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76006555)-sin(-0.76034347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724790850382972-0.724599344141759)×R²
    abs(-0.72442243--0.72480592)×0.00019150624121278×R²
    0.000383490000000042×0.00019150624121278×6371000²
    0.000383490000000042×0.00019150624121278×40589641000000     		ar = 3135049.34501009m²