Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63019 / 77042
↖ ↑ ↗
← S 30.111870°
W  6.913147°		 ← 264.21 m → S 30.111870°
W  6.910400°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 30.114246°
W  6.913147°		 ← 264.20 m →
69 804 m²		 S 30.114246°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480800628662109 y=0.587787628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480800628662109 × 217)
    floor (0.480800628662109 × 131072)
    floor (63019.5)     		tx = 63019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587787628173828 × 217)
    floor (0.587787628173828 × 131072)
    floor (77042.5)     		ty = 77042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63019 / 77042 ti = "17/63019/77042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63019/77042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63019 ÷ 217
    63019 ÷ 131072     		x = 0.480796813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77042 ÷ 217
    77042 ÷ 131072     		y = 0.587783813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480796813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.175567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.551561967028366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12065718} λ = -0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551561967028366))-π/2
    2×atan(0.576049337237407)-π/2
    2×0.522622527003685-π/2
    1.04524505400737-1.57079632675     		φ = -0.52555127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52555127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.111870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63019 KachelY 77042 -0.12065718 -0.52555127 -6.913147 -30.111870
    Oben rechts KachelX + 1 63020 KachelY 77042 -0.12060924 -0.52555127 -6.910400 -30.111870
    Unten links KachelX 63019 KachelY + 1 77043 -0.12065718 -0.52559274 -6.913147 -30.114246
    Unten rechts KachelX + 1 63020 KachelY + 1 77043 -0.12060924 -0.52559274 -6.910400 -30.114246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52555127--0.52559274) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52555127--0.52559274) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(-0.52555127) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86504750645848 × 6371000     		do = 264.207774795216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(-0.52559274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865026700632189 × 6371000     		du = 264.201420160325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52555127)-sin(-0.52559274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86504750645848-0.865026700632189)×R²
    abs(-0.12060924--0.12065718)×2.08058262910482e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08058262910482e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08058262910482e-05×40589641000000     		ar = 69804.2734422513m²