Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63019 / 38894
↖ ↑ ↗
← N 58.839332°
W  6.913147°		 ← 158.04 m → N 58.839332°
W  6.910400°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.837911°
W  6.913147°		 ← 158.05 m →
24 971 m²		 N 58.837911°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480800628662109 y=0.296741485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480800628662109 × 217)
    floor (0.480800628662109 × 131072)
    floor (63019.5)     		tx = 63019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296741485595703 × 217)
    floor (0.296741485595703 × 131072)
    floor (38894.5)     		ty = 38894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63019 / 38894 ti = "17/63019/38894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63019/38894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63019 ÷ 217
    63019 ÷ 131072     		x = 0.480796813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38894 ÷ 217
    38894 ÷ 131072     		y = 0.296737670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480796813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296737670898438 × 2 - 1) × π
    0.406524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27713487967754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12065718} λ = -0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27713487967754))-π/2
    2×atan(3.58634966816445)-π/2
    2×1.29886820508817-π/2
    2.59773641017634-1.57079632675     		φ = 1.02694008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02694008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.839332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63019 KachelY 38894 -0.12065718 1.02694008 -6.913147 58.839332
    Oben rechts KachelX + 1 63020 KachelY 38894 -0.12060924 1.02694008 -6.910400 58.839332
    Unten links KachelX 63019 KachelY + 1 38895 -0.12065718 1.02691528 -6.913147 58.837911
    Unten rechts KachelX + 1 63020 KachelY + 1 38895 -0.12060924 1.02691528 -6.910400 58.837911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02694008-1.02691528) × R
    2.4799999999825e-05 × 6371000     		dl = 158.000799998885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02694008-1.02691528) × R
    2.4799999999825e-05 × 6371000     		dr = 158.000799998885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.02694008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.517439697048338 × 6371000     		do = 158.039402376352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.02691528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.51746091873712 × 6371000     		du = 158.045884026353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02694008)-sin(1.02691528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517439697048338-0.51746091873712)×R²
    abs(-0.12060924--0.12065718)×2.12216887818251e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12216887818251e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12216887818251e-05×40589641000000     		ar = 24970.8640610303m²